数据结构+各种树

Posted 2021-05-29 Data+Science+Insight

数据结构+各种树

树，二叉树，满二叉树，完全二叉树，二叉查找树（二叉排序树）、平衡二叉树（AVL树）、红黑树、B-树、B+树、B*树，字典树（trie树）、后缀树、广义后缀树，

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树的概念

树（英语：tree）是一种抽象数据类型（ADT）或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n（n>=1）个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。它具有以下的特点：

1、·每个节点有零个或多个子节点；

2、·没有父节点的节点称为根节点；

3、·每一个非根节点有且只有一个父节点；

树的术语

1、·节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；

2、·树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；

3、·叶节点或终端节点：度为零的节点；

4、·父亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；

5、·孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；

6、·兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；

7、·节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；

8、·树的高度或深度：树中节点的最大层次；

9、·堂兄弟节点：父节点在同一层的节点互为堂兄弟；

10、·节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；

11、·子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙；

12、·森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林。

树的种类

1、·无序树：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树；

2、·有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树；

3、二叉树：每个节点最多含有两个子树的树称为二叉树；

4、完全二叉树：对于一棵二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值（即子节点数目为2），且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;

5、平衡二叉树（AVL树）：当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树；

6、排序二叉树（二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树；

7、霍夫曼树（用于信息编码）：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树；

8、B树：一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树。

树的存储与表示

线性表有两种存储方式：顺序存储和链式存储。二叉树的存储也是一个线性表结构，因此也具有顺序存储和链式存储两种方式。

顺序存储：顺序存储是一个让人又爱又恨的玩意儿。爱是因为它理解起来比较简单，查找起来也比较方便；恨是因为这玩意儿太傻瓜，它只一次性地向内存索取一段连续的空间，而且坚决不管在实际应用中够用不够用，而且这货在插入和删除元素时居然需要O(n**2)的时间复杂度，这个让人有点无语。将数据结构存储在固定的数组中，虽然在遍历速度上有一定的优势，但因所占空间比较大，是非主流二叉树，二叉树通常以链式存储。

目前看来，二叉树的顺序存储看起来还过得去，它在存储空间上的劣势并没有太大的体现，那么现在来演示一下万恶的退化二叉树的顺序存储，来看一下在这种情况下对于内存空间的浪费是多么的可怕！（纯属洗脑）

比如说，我有一棵一般二叉树，这棵二叉树只有三个结点（A/B/C），由于计划生育做的比较好，ABC节点都只有一个孩子，A拥有右子树B，B拥有左子树C。但是为了能够方便地从双亲找到孩子（或者从孩子找到双亲），就需要构建一些“虚结点”，从而使得一般二叉树“虚化”为完全二叉树，如图1所示，A的左子树这一脉就都是虚结点，然后按照完全二叉树的顺序存储方式进行存储，存储结果如图2所示，顺序存储的数组中虚节点均为空，虽然为空，但是还不得不给它留位置。可以看出，对于一般二叉树，如果虚结点过多的话，数组中会有很多的空值，贼浪费空间，这是非常让人无法忍受的！

图1

图2

链式存储：链式存储的结构分为两种：二叉链表结构和三叉链表结构，我们着重介绍一下二叉链表

二叉链表结构：一个二叉链表结点由三部分组成：数据域，左孩子指针和右孩子指针，如下图所示。

其中，数据域data用来存放结点信息，左孩子指针lchild用来指向该结点的左子树，右孩子指针rchild用来指向该结点的右子树。图3(a)所示的完全二叉树的二叉链表结构如图3(b)所示。

左图3(a)、右图3(b)

顺序存储与链式存储比较

（a）顺序存储分配的内存空间大小是固定的，不好根据二叉树结点数目的增多而动态扩展。如果内存空间分配过大，势必造成内存空间的浪费；如果分配过小，则会产生数组溢出的问题。另外，顺序存储在增加和删除结点时时间复杂度为O(n^2)。顺序存储的好处是方便查找结点。

（b）链式存储可以动态分配内存空间，比顺序存储更加灵活、方便，结点的最大数目仅与系统存储空间相关。另外，在插入/删除结点时的时间复杂度仅为O(n)。因此，在对二叉树操作时更多采用链式存储结构。

常见的一些树的应用场景

1、.xml，html等，那么编写这些东西的解析器的时候，不可避免用到树

2、.路由协议就是使用了树的算法

3、.mysql数据库索引

4、.文件系统的目录结构

5、.所以很多经典的AI算法其实都是树搜索，此外机器学习中的decision tree也是树结构

 

参考：数据结构---树的基本概念和性质

参考：数据结构中的各种树浅谈

参考：[Data Structure] 数据结构中各种树

参考：当Kotlin遇见数据结构丨数据结构之树结构概述（含满二叉树、完全二叉树、平衡二叉树、二叉搜索树、红黑树、B-树、B+树、B*树）

参考：数据结构中各种树

参考：数据结构-各种树的定义

参考：wikipedia + Tree (data structure)

参考：【数据结构】数据结构中常用的树

参考：数据结构（五）--树