进制与转换

Posted 2021-05-29 恒奇恒毅

参考
http://www.cnblogs.com/jillzhang/archive/2007/06/24/793901.html
https://www.cnblogs.com/hmy-666/p/12551063.html

进制基础

十进制：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 整数默认是十进制的
二进制：0,1 在Java中以0b开头
八进制：0,1,2,3,4,5,6,7 在Java中以0开头
十六进制：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F 在Java中以0x开头
R进制：由0~(R-1)组成，并且每一位上的数据逢R进1
很明显，进制越小，表达相同的数字需要的位数就越多；反之就越少。
这也就是为什么在短链服务中使用64进制来表示，因为这样使得位数更少，占据更少的空间。
计算机因为使用电路开关的通断来表示，所以很理所当然地使用二进制表示；而人类早已习惯使用十进制。

进制的相互转换

R进制到十进制的转换

规则：按权展开法(系数 * 基数的权次幂相加)

系数：每一【位】上的数
基数：R进制，基数就是R
权：从数值的右侧，以0开始编号，对应位上的编号就是该位上的权
举例：0b101010

0b101010 = 1*2^5 + 0*2^4 + 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0
                     = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 0
                     = 42

十进制到R进制的转换

重复相除法(除基取余，直到商为0，余数反转)
举例：把42转换为二进制

十进制数据	基数	商	余数
42	2	21	0
21	2	10	1
10	2	5	0
5	2	2	1
2	2	1	0
1	2	0	1

余数翻转：0b101010

二进制和十进制之间的快速转换

8421码：
是BCD代码中最常用的一种
BCD：(Binary-Coded Decimal‎) 二进制码十进制数，在这种编码方式中，每一位二进制值代码的1都是代表一个固定数值，把每一位的1代表的十进制数加起来得到的结果就是它所代表的十进制数码
相同的0b101010使用8421码

二进制和八进制之间的转换

思路1：把二进制转换为十进制，然后在把该十进制转换为八进制
思路2：三位组合法
把二进制的数据，从右开始，每3位一组合，最左边不够的时候，补0然后，分别计算对应的十进制数值
最后，从左往右，把每个十进制的数据组合起来，就是一个八进制数据
举例：二进制：0b101010
拆分： 101 010
计算： 5 2
组合： 52
八进制：052
相反地，八进制转换为二进制就是排开的过程
八进制：052
排开 101 010
组合 101010
二进制：0b101010

二进制和16进制之间的转换

思路1：把二进制转换为十进制，然后在把该十进制转换为八进制
思路2：四位组合法
把二进制的数据，从右开始，每4位一组合，最左边不够的时候，补0然后，分别计算对应的十进制数值
最后，从左往右，把每个十进制的数据组合起来，就是一个16进制数据
举例：二进制：0b101010
拆分： 10 1010
补零：0010 1010
计算： 2 a
组合： 2a
16进制：0x2a
相反地，16进制转换为二进制就是排开的过程
八进制：0x2a
排开 0010 1010
组合 00101010
二进制：0b101010

Integer内置转换方法

java.lang.Integer 类中的静态方法：

public static String toBinaryString​(int i):在基数2中返回整数参数的字符串表示形式为无符号整数
public static String toOctalString​(int i):在基数8中返回整数参数的字符串表示形式为无符号整数
public static String toHexString​(int i):返回整数参数的字符串表示形式，作为16位中的无符号整数

public static String toString​(int i,int radix)：返回由第二个参数指定的基数中的第一个参数的字符串表示形式

有符号数据表示法

十进制的数据：+表示正数 -表示负数
计算机中的数据：0表示正数 1表示负数
而对于计算机识别的数据来说，0和1本身也表示数据值，那么我们怎么判断他是数值位还是符号位呢？
规定：符号位位于数值第一位
在十进制里面，我们用+表示正数，-表示负数，但是计算机并不识别+和-，该怎么办呢？正数和负数正好是两个相反的状态，而且也仅仅是两个状态，所以我们就可以使用0和1来表示计算机中的数据正负。

原码

原码表示法：是最简单的机器数表示法。用最高位表示符号位，1表示负号，0表示正号。其余位表示数值的大小。
原码表示法在正数负数的加法时有问题：

1 - 2 = (1) + (-2)
        = 00000001 + 10000010
        = 10000011
        = -3

反码

正数的反码和原码相同
负数的反码就是它的原码除符号位外，按位取反(1变0,0变1)
反码表示法在正数负数的加法时没问题，但是在负数和负数的加法时又有问题：

-1 - 2 = (-1) + (-2)
         = 11111110 + 11111101
         = 11111011(符号位进位舍弃)
         = -4

补码

正数的补码和原码相同
负数的补码等于反码+1
补码完美地解决了正数、负数的加减问题。

-1 - 2 = (-1) + (-2)
         = 11111111 + 11111110
         = 11111101 (符号位进位舍弃)
         = -3

在计算机中，存储和运算采用的都是补码进行的。计算过程中，符号进位舍弃。

https://www.cnblogs.com/hmy-666/p/12551063.html

强制转换导致的数据丢失

如果一个数据超过了某个类型能表达的最大范围，使用强制转换就会丢失数据
例如：byte的范围是-128~127，就无法保存130，使用强制转换就会丢失数据，为不对的结果。

浮点数存储

二进制浮点数转换为十进制浮点数

规则：按权展开法(系数 * 基数的权次幂相加)
整数部分：从小数点左侧，以0开始编号，对应位上的编号就是该为上的权
小数部分：从小数点右侧，以-1开始编号，对应位上的编号就是该为上的权

举例：把二进制浮点数110.101转换为十进制浮点数
110.101 = 1*2^2 + 1*2^1 + 0*2^0 + 1*2^-1 + 0*2^-2 + 1*2^-3
                     = 4 + 2 + 0 + 0.5 + 0 + 0.125
                     = 6.625

十进制浮点数转换为二进制浮点数

规则：整数部分重复相除，小数部分重复相乘
整数部分重复相除法：除基取余，直到商为0，余数反转
小数部分重复相乘法：乘基取整，直到小数为0或者达到指定精度位，整数顺序排列

浮点数的存储

根据国际标准IEEE 754，任意一个二进制浮点数都可以表示为 ：V = (-1)^s * M * 2^E
s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数
M表示有效数字 E表示指数位
举例：十进制的浮点数6.625，写成二进制是110.101，相当于1.10101 * 2 ^ 2
按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.10101，E=2

• 对于32位的浮点数，也就是float类型的，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M
• 对于64位的浮点数，也就是double类型的，最高的1位是符号位s，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M
  
  IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定：
  规范化表示的时候，M要写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小数部分
  IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。
  比如保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字。

指数E，为一个无符号整数（unsigned int）。这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0~255；如果E为11位，它的取值范围为0~2047
但是，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，E的真实值必须再减去一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023
比如，2^10的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。

例如
举例：浮点数6.625F的存储
二进制：110.101
规范化表示：1.10101000000000000000000 * 2 ^ 2
符号s为0
有效数字 M：10101000000000000000000
指数E：2 + 127 = 129 = 10000001

浮点数表示误差

浮点数由于精度问题，会出现误差

System.out.println(2.0F - 1.5F);
System.out.println(2.0F - 1.3F);
System.out.println(2.0F - 1.4F);


结果是：
0.5
0.7
0.6

实际运行程序后，结果是：
0.5
0.70000005
0.6

浮点数运算，在存储和运算过程都可能会有精度的丢失，故出现的结果和我们以为的结果就会有出入
在实际开发中不太建议直接使用float或者double做运算。

那么，我们到底如何避免这种精度丢失问题呢？
使用java.math. BigDecimal中的方法即可。
实际使用中BigDecimal比较大小建议使用compareTo，而不要使用equals，后者在小数点位数不同的时候就不相等，即1.0 != 1