Codeforces Round #722 (Div. 2) C. Parsa‘s Humongous Tree(中位数定理)

Posted 2021-05-26 issue是fw

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容易猜到每个节点要么取$l_i$要么取值$r_i$最优

这样就定义$f[i][0/1]$节点$i$取$l_i/r_i$时,子树内的最大总收益

这样暴力转移就好了…

关于证明

设根节点$1$有$k$个儿子,设最后构造的最优答案中权值从小到大分别为$x_1,x_2....x_k$

设根节点选择权值$w\in [l_1,r_1]$

设权值比$w$小的有$k_1$个，权值比$w$大的有$k_2$个

重新给根节点赋值为$w-1$(暂时不考虑$k_1,k_2$的变化)

那么当$i\in [1,k_1]$时,$x_i$造成的贡献减少一(若此处$k_1$变小,贡献减小的就更小了)

当$i\in [k_1+1,k]$时,$x_i$造成的贡献增加一(若此处$k_1$变小,贡献增大的就更大了)

所以权值取$x-1$比权值取$x$多$k_2-k_1$

权值取$x+1$比权值取$x$多$k_1-k_2$

显然$x+1$和$x-1$显然有一个更优

所以权值取$l_1$或者$r_1$一定比取中间某个权值更优

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6+10;
const int mod = 998244353;
vector<int>vec[maxn];
long long f[maxn][3];
int l[maxn],r[maxn],n,m;
void dfs(int u,int fa)
{
	f[u][0] = f[u][1] = 0;
	for( auto v:vec[u] )
	{
		if( v==fa )	continue;
		dfs(v,u);
		f[u][0] += max( f[v][0]+abs( l[v]-l[u] ),f[v][1]+abs( r[v]-l[u] ) );
		f[u][1] += max( f[v][0]+abs( l[v]-r[u] ),f[v][1]+abs( r[v]-r[u] ) );
	}
}
int main()
{
	int t; cin >> t;
	while( t-- )
	{
		cin >> n;
		for(int i=1;i<=n;i++)	cin >> l[i] >> r[i];
		for(int i=1;i<n;i++)
		{
			int L,R; scanf("%d%d",&L,&R );
			vec[L].push_back( R );
			vec[R].push_back( L );
		}
		dfs(1,1);
		cout << max( f[1][0],f[1][1] ) << endl;
		for(int i=1;i<=n;i++)	vec[i].clear();
	}
}