CodeForces - 1529F It‘s a bird! No, it‘s a plane! No, it‘s AaParsa!(最短路+思维建图)

Posted 2021-05-26 Frozen_Guardian

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题目大意：给出 $n$ 个点（从 $0$ 开始编号）和 $m$ 条边的有向带权图，不过 $m$ 条边是动态的，经过 $t$ 秒后，第 $i$ 条边就从 $a_i->b_i,c_i$ 变成了 $a_i->(b_i+t)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n,c_i$，现在要求输出任意两点之间的最短路（最短路矩阵）

注意：在达到某个点后可以选择停留任意时刻再继续赶路

题目分析：读完题后不难建出分层图最短路的模型，共有 $n\ast n$ 个点和 $m\ast n$ 条边，直接跑 Floyd 的话是 $O(n^6)$，跑 $n$ 次 Dijkstra 的话是 $O(n\ast m\ast n\ast log(n\ast n))=O(n^{4}logn)$，所以分层图的想法只能 pass 了

是赛后看题解补的题，发现模型很巧妙，如果没有停留时间的限制，就是一个裸的迪杰斯特拉了（不需要分层图，每个点贪心松弛即可）

加上了停留时间的限制，我们可以对于每个点 $i$ ，添加一条 $i->(i+1)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n,1$
也就是相邻的两个点添加一条花费为 $1$ 的道路，为什么这样建图是可行的呢？假设现在点 $u$，可以到达点 $v$，若我们想要到达点 $v+k$ 的话，只需要在点 $u$ 先等上 $k$ 秒，然后就可以直接走 $u->(v+k)$ 这条边了，等效于先走 $u->v$ 然后每一秒依次走 $v->v+1$，$v+1->v+2$ 等等等等

需要注意的是，第一条边不能走 $i->i+1$ 这条边，所以在写最短路的时候，我们需要手动松弛第一次

还需要注意的是，初始时可能会存在重边（参考样例二），所以我们初始化邻接矩阵时，应该将 $i==j$ 的位置也初始化为无穷大才行

因为这个题目时间卡的很紧，所以在选择算法的时候需要选择 $O(n^2)$ 的迪杰斯特拉，因为在稠密图上跑堆优化的迪杰斯特拉，时间复杂度是 $O(mlogn)=O(n^{2}logn)$ 的

代码：

// Problem: F. It's a bird! No, it's a plane! No, it's AaParsa!
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #722 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1529/problem/F
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 5000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const LL inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int N=610;
LL maze[N][N],d[N];
bool vis[N];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int n,m;
	read(n),read(m);
	memset(maze,0x3f,sizeof(maze));
	while(m--) {
		int u,v,w;
		read(u),read(v),read(w);
		maze[u][v]=w;
	}
	for(int i=0;i<n;i++) {
		memset(d,0x3f,sizeof(d));
		memset(vis,false,sizeof(vis));
		for(int j=0;j<n;j++) {
			d[j]=min(d[j],maze[i][j]);
		}
		while(1) {
			LL mmin=inf;
			int mark=-1;
			for(int j=0;j<n;j++) {
				if(!vis[j]&&(mark==-1||d[j]<mmin)) {
					mmin=d[j];
					mark=j;
				}
			}
			if(mark==-1) {
				break;
			}
			vis[mark]=true;
			d[(mark+1)%n]=min(d[(mark+1)%n],d[mark]+1);
			for(int j=0;j<n;j++) {
				d[(j+d[mark])%n]=min(d[(j+d[mark])%n],d[mark]+maze[mark][j]);
			}
		}
		for(int j=0;j<n;j++) {
			if(i==j) {
				cout<<0<<' ';
			} else {
				printf("%lld ",d[j]);
			}
		}
		puts("");
	}
	return 0;
}