CodeForces - 1484F Useful Edges(最短路)

Posted 2021-05-26 Frozen_Guardian

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题目大意：给出由 $n$ 个点构成的无向图，再给出 $q$ 个三元对 $(u,v,l)$，现在问有多少条边 $(i,j)$ 可以和至少一个三元对匹配，可以匹配的条件是：

从点 $u$ 到点 $v$ 且包含边 $(i,j)$ 的最短路的长度需要小于等于 $l$

题目分析：题目本身不难，就是有点绕，先考虑一下暴力思路

可以先 $O(m)$ 去枚举每条边，然后再 $O(q)$ 去枚举每个询问，设 $d_{i,j}$ 是点 $i$ 到点 $j$ 的最短路，如果满足 $d_{u,i}+w_{i,j}+d_{j,v}<=l$ 则当前的边可以记录贡献

不过上述暴力的时间复杂度是 $O(n^4)$ 的，考虑对公式进行移项

$d_{u,i}+w_{i,j}+d_{j,v}<=l$ 变成 $d_{j,v}+w_{i,j}<=l-d_{u,i}$

这样一来我们就可以将不等式右边视为一个整体，不难发现当固定了 $i$ 后，不等式左右两侧就可以分别计算，这样时间复杂度就降下来了

具体就是，在固定 $i$ 后，维护 $mma{x}_u$ 为相应 $l-d_{u,i}$ 的最大值

然后枚举 $j$ 以及 $u$ 就可以计算贡献了

代码：

// Problem: F. Useful Edges
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #709 (Div. 2, based on Technocup 2021 Final Round)
// URL: https://codeforces.com/contest/1484/problem/F
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 5000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
    T f=1;x=0;
    char ch=getchar();
    while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
    if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=610;
LL d[N][N],w[N][N],mmax[N];
vector<pair<int,int>>node[N];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int n,m;
	read(n),read(m);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		for(int j=1;j<=n;j++) {
			d[i][j]=i==j?0:1e18;
			w[i][j]=0;
		}
	}
	while(m--) {
		int u,v,val;
		read(u),read(v),read(val);
		w[u][v]=w[v][u]=val;
		d[u][v]=d[v][u]=val;
	}
	int q;
	read(q);
	while(q--) {
		int u,v,w;
		read(u),read(v),read(w);
		node[u].push_back({v,w});
		node[v].push_back({u,w});
	}
	for(int k=1;k<=n;k++) {
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			for(int j=1;j<=n;j++) {
				d[i][j]=min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j]);
			}
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		memset(mmax,0,sizeof(LL)*(n+5));
		for(int u=1;u<=n;u++) {
			for(auto it:node[u]) {
				int v,l;
				tie(v,l)=it;
				mmax[u]=max(mmax[u],l-d[v][i]);
			}
		}
		for(int j=i+1;j<=n;j++) {
			if(w[i][j]==0) {
				continue;
			}
			for(int k=1;k<=n;k++) {
				if(w[i][j]+d[j][k]<=mmax[k]) {
					ans++;
					break;
				}
			}
		}
	}
	cout<<ans<<endl;
    return 0;
}