CodeForces - 1529E Trees of Tranquillity(贪心+线段树)

Posted 2021-05-26 Frozen_Guardian

题目链接：https://vjudge.net/problem/CodeForces-1529E

题目大意：给出两棵根节点为 $1$ 的树，分别称为 $A$ 树和 $B$ 树，现在通过两棵树可以构造出一个无向图，当且仅当点对 $(x,y)$ 同时满足以下两个条件时，可以在图中建边：

1. 在 $A$ 树中，$x$ 是 $y$ 的祖先或 $y$ 是 $x$ 的祖先
2. 在 $B$ 树中，$x$ 不能是 $y$ 的祖先同时 $y$ 不能是 $x$ 的祖先

求该图的最大团

题目分析：一开始读错题了，后来读对题后分析的差不多时间也到点了，今天补题的时候发现和赛场的思路差的不算太多，就是一个挺简单的贪心

思考一下，满足最大团的点，在 $A$ 树上和 $B$ 树上的形态是什么样的，首先这些点在 $A$ 树上一定是一条，从根节点到叶子结点的链上的点，可以不连续。在 $B$ 树上就可以体现为，所有点的 $dfs$ 序都没有交集

继续分析，所有点的 $dfs$ 序没有交集，也就是说需要选择尽可能多的区间，使其互不相交，这样就将树上的问题转换成线性问题了

而在 $A$ 树上需要满足所有的点在同一条链上，在 $dfs$ 的时候贪心选择尽可能多的点就可以了

然后是题目针对于本题输入的一个特殊性质，基于给出的树的输入方式，是每次给出点 $i$ 的父节点。这也就使得，$A$ 树和 $B$ 树从根节点拉下来的一条链，一定是一个单调递增的序列，结合于此，针对于 $B$ 树的 $dfs$ 序的区间，有一个下面会用到的性质：

序号较小的点的区间，要么包含序号较大的点的区间，要么与其不相交

接下来就可以对 $A$ 树 $dfs$ 去贪心了，需要维护一个数据结构，需要实现以下功能：

1. 插入一个区间
2. 删除一个区间
3. 判断存在的区间是否存在交集

可以用平衡树（set），也可以用线段树，我觉得用线段树比较好理解，就选择了线段树实现

当遍历到点 $x$ 时，尝试将点 $x$ 所代表的区间插入到线段树中，无非会出现三种情况：

1. $[L[x],R[x]]$ 中原先并没有区间，则直接插入即可
2. $[L[x],R[x]]$ 被一个更大的区间覆盖，则将其删掉，并替换上点 $x$ 所代表的区间显然更优
3. $[L[x],R[x]]$ 中包含了大于一个区间，此时如果想加入 $x$ 所代表的区间，就需要将冲突的区间全都删掉，显然舍弃掉 $x$ 所代表的区间是更优的，实际操作就是，无需操作

回溯的时候将 $x$ 所代表的区间按照上述三种情况还原即可

最后的最后还有一个比较难解决的小问题，就是，如何快速查询区间 $[L[x],R[x]]$ 中存在的不同区间的个数，以及如何快速更新线段树

还记得前面加粗的性质吗？序号大小这个条件还没有用上呢

其实我们可以直接去查询 $[L[x],R[x]]$ 中，存在的区间的最大编号即可，因为在 $A$ 树上 $dfs$ 遍历的链也是递增遍历的，结合加粗的性质，如果 $[L[x],R[x]]$ 之前被覆盖过，那么一定是一个更大的区间覆盖的，所以上述的三种情况里，第三种情况实际上根本不可能出现

代码：

// Problem: E. Trees of Tranquillity
// Contest: Codeforces - Codeforces Round #722 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1529/problem/E
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 3000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
vector<int>a[N],b[N];
int L[N],R[N],dfn,sum,ans;
struct Node {
	int l,r,mmax,lazy;
}tree[N<<2];
void pushup(int k) {
	tree[k].mmax=max(tree[k<<1].mmax,tree[k<<1|1].mmax);
}
void pushdown(int k) {
	if(tree[k].lazy!=-1) {
		int lz=tree[k].lazy;
		tree[k].lazy=-1;
		tree[k<<1].mmax=tree[k<<1|1].mmax=lz;
		tree[k<<1].lazy=tree[k<<1|1].lazy=lz;
	}
}
void build(int k,int l,int r) {
	tree[k]={l,r,0,-1};
	if(l==r) {
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(k<<1,l,mid);
	build(k<<1|1,mid+1,r);
}
void update(int k,int l,int r,int val) {
	if(tree[k].l>r||tree[k].r<l) {
		return;
	}
	if(tree[k].l>=l&&tree[k].r<=r) {
		tree[k].mmax=tree[k].lazy=val;
		return;
	}
	pushdown(k);
	update(k<<1,l,r,val);
	update(k<<1|1,l,r,val);
	pushup(k);
}
int query(int k,int l,int r) {
	if(tree[k].l>r||tree[k].r<l) {
		return 0;
	}
	if(tree[k].l>=l&&tree[k].r<=r) {
		return tree[k].mmax;
	}
	pushdown(k);
	return max(query(k<<1,l,r),query(k<<1|1,l,r));
}
void dfs1(int u) {
	L[u]=++dfn;
	for(auto v:b[u]) {
		dfs1(v);
	}
	R[u]=dfn;
}
void dfs2(int u) {
	int mmax=query(1,L[u],R[u]);
	if(!mmax) {
		update(1,L[u],R[u],u);
		sum++;
	} else {
		update(1,L[mmax],R[mmax],0);
		update(1,L[u],R[u],u);
	}
	ans=max(ans,sum);
	for(auto v:a[u]) {
		dfs2(v);
	}
	if(!mmax) {
		update(1,L[u],R[u],0);
		sum--;
	} else {
		update(1,L[u],R[u],0);
		update(1,L[mmax],R[mmax],mmax);
	}
}
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int w;
	cin>>w;
	while(w--) {
		int n;
		read(n);
		dfn=0;
		for(int i=1;i<=n;i++) {
			a[i].clear();
			b[i].clear();
		}
		for(int i=2;i<=n;i++) {
			int fa;
			read(fa);
			a[fa].push_back(i);
		}
		for(int i=2;i<=n;i++) {
			int fa;
			read(fa);
			b[fa].push_back(i);
		}
		dfn=ans=sum=0;
		build(1,1,n);
		dfs1(1);
		dfs2(1);
		cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}