函数式编程的约简操作

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了函数式编程的约简操作相关的知识,希望对你有一定的参考价值。


约简


在λ项上能够进行不一样的约简(reduction)操做,主要有以下3种。


函数式编程的约简操作


函数式编程的约简操作

α变换


α变换(α-conversion)的目的是改变绑定变量的名称,避免名称冲突。好比,咱们能够经过α变换把λx.x+1转换成λy.y+1。若是两个λ项能够经过α变换来进行转换,则这两个λ项是α等价的。这也是咱们上一节中提到的α等价的形式化定义。


对λ抽象进行α变换时,只能替换那些绑定到当前λ抽象上的变量。如λ抽象λx.λx.x能够α变换为λx.λy.y或λy.λx.x,可是不能变换为λy.λx.y,由于二者的语义是不一样的。λx.x表示的是恒等函数。λx.λx.x和λy.λx.x都是表示返回恒等函数的λ抽象,所以它们是α等价的。而λx.y表示的再也不是恒等函数,所以λy.λx.y与λx.λy.y和λy.λx.x都不是α等价的。



函数式编程的约简操作

β约简


β约简(β-reduction)与函数应用相关。在讨论β约简以前,须要先介绍替换的概念。对于λ项M来讲,M[x:=N]表示把λ项M中变量x的自由出现替换成N。具体的替换规则以下所示。A、B和M是λ项,而x和y是变量。A≡B表示两个λ项是相等的。


1、x[x:=M]≡M:直接替换一个变量x的结果是用来进行替换的λ项M。


2、y[x:=M]≡y(x≠y):y是与x不一样的变量,所以替换x并不会影响y,替换结果仍然为y。


3、(AB)[x:=M]≡(A[x:=M]B[x:=M]):A和B都是λ项,(AB)是λ项的应用。对λ项的应用进行替换,至关于替换以后再进行应用。


函数式编程的约简操作


4、(λx.A)[x:=M]≡λx.A:这条规则针对λ抽象。若是x是λ抽象的绑定变量,那么不须要对x进行替换,获得的结果与以前的λ抽象相同。这是由于替换只是针对M中x的自由出现,若是x在M中是不自由的,那么替换就不须要进行。


5、(λy.A)[x:=M]≡λy.A[x:=M](x≠y而且y∉FV(M)):这条规则也是针对λ抽象。λ项A的绑定变量是y,不一样于要替换的x,所以能够在A中进行替换动做。


在进行替换以前,可能须要先使用α变换来改变绑定变量的名称。好比,在进行替换(λx.y)[y:=x]时,不能直接把出现的y替换成x。这样就改变了以前的λ抽象的语义。正确的作法是先进行α变换,把λx.y替换成λz.y,再进行替换,获得的结果是λz.x。


替换的基本原则是要求在替换完成以后,原来的自由变量仍然是自由的。若是替换变量可能致使一个变量从自由变成绑定,须要首先进行α变换。在以前的例子中,λx.y中的x是自由变量,而直接替换的结果λx.x把x变成了绑定变量,所以α变换是必须的。在正确的替换结果λz.x中,z仍然是自由的。


β约简用替换来表示函数应用。对((λV.E)E′)进行β约简的结果就是E[V:=E′]。如((λx.x+1)y)进行β约简的结果是(x+1)[x:=y],也就是y+1。


函数式编程的约简操作


函数式编程的约简操作

η变换


η变换(η-conversion)描述函数的外延性(extensionality)。外延性指的是若是两个函数当且仅当对全部参数的结果相同时,才被认为是相等的。好比一个函数F,当参数为x时,它的返回值是Fx。那么考虑声明为λy.Fy的函数G。函数G对于输入参数x,一样返回结果Fx。F和G可能由不一样的λ项组成,可是只要Fx=Gx对全部的x都成立,那么F和G是相等的。


以F=λx.x和G=λx.(λy.y)x来讲,F是恒等函数,而G则是在输入参数x上应用恒等函数。F和G虽然由不一样的λ项组成,可是它们的行为是同样,本质上都是恒等函数。咱们称之为F和G是η等价的,F是G的η约简,而G是F的η扩展。F和G互为对方的η变换。


函数式编程的约简操作

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