AtCoder Beginner Contest 202 D - aab aba baa（组合计数，字典序）

Posted 2021-05-25 繁凡さん

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Problem

有 $A$ 和 $a$，$B$ 个 $b$ ，可以使用这 $A+B$ 个字符任意组合成一个长度为 $A+B$ 的字符串，问组成的所有字符串中，按字典序排列的第 $k$ 个字符串是啥。

Solution

没打这场比赛，有人QQ问我这题来着，然后就爬过来写题解了。

显然 $A$ 和 $a$，$B$ 个 $b$ ，任意排列为多重集的全排列，方案数为 $\frac{(A+B)!}{A!B!}$。

当然数据较大，直接求阶乘没有模数要爆 long long ，所以我们可以将问题转换为模型：从 $(0,0)$，出发，每次可以向右移动一步，或者向上移动一步，移动到 $(A,B)$ 的方案数 $f[A][B]$，直接DP转移即可。

询问的是字典序第 $k$ 的字符串是啥，考虑按顺序分配字符。显然 $a$ 开头的字符串字典序小于 $b$ 开头的字符串，对于当前的 $A$ 和 $a$，$B$ 个 $b$ ，按照字典序，以 $a$ 开头的字符串一定都小于以 $b$ 开头的字符串，因为我们要求的是第 $k$ 大，显然按照顺序来，先考虑以 $a$ 开头的字符串的方案数，即固定第一个字符一定是 $a$，剩下的随意，那么方案数就为 $f[A-1][B]$。

若 $k\le f[A-1][B]$，那么显然当前字典序的前 $f[A-1][B]$ 个字符串都是以 $a$ 开头的，$k\le f[A-1][B]$，所以我们这一位一定是 $a$。

若 $k>f[A-1][B]$，那么 $a$ 开头字符串个数也不够分呐，所以只能以 $b$ 开头，这一位是 $b$，这样就不会有以 $a$ 开头的 $A$ 和 $a$，$B$ 个 $b$ 这些 $f[A-1][B]$ 的字符串了，所以排名第 $k$ 的字符串就变成了排名第 $k-f[A-1][B]$ 的字符串。

递归子问题处理即可。

Code

// Problem: D - aab aba baa
// Contest: AtCoder - AISing Programming Contest 2021（AtCoder Beginner Contest 202）
// URL: https://atcoder.jp/contests/abc202/tasks/abc202_d
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N = 1e3 + 7;

int f[N][N];
int a, b, k;

string Find(int A, int B, int k)
{
	if(A == 0) return string(B, 'b');
	if(B == 0) return string(A, 'a');
	if(k <= f[A - 1][B]) {
		string s = "a";
		return s + Find(A - 1, B, k);
	}
	else {
		string s = "b";
		return s + Find(A, B - 1, k - f[A - 1][B]);
	}
}

signed main()
{
	scanf("%lld%lld%lld", &a, &b, &k);
	f[0][0] = 1;
	for(int i = 0; i <= a; ++ i) {
		for(int j = 0; j <= b; ++ j) {
			if(i > 0) 
				f[i][j] += f[i - 1][j];
			if(j > 0)
				f[i][j] += f[i][j - 1];
		}
	} 
	cout << Find(a, b, k) << endl;
	return 0;
}