关于黎曼几何初学者的踩坑经历

Posted 2021-05-25 雷姆是我的

说句实话，微分几何部分一直是我心里面的痛。从抽象的数学角度，一般来说泛函分析牵扯的一堆东西常常是被认为最“抽”的。泛函分析的一个最大特点就是，虽然内容很多，但是真正做起来往往证明都不长（虽然不简单，很考验创造力），而且章节独立性很强。就我个人而言，Schaefer的Topological Vector Space，Meyer的Banach Lattices还有Fell和Duran的关于*-representation的上下册，基本包含了传统泛函里面的大部分内容。这几本书的好处在于：

1. 这几本书多半都是self-contained，不需要去查其他书籍；
2. 这里面的结论十分广泛，远远超过类似于Rudin或者Conway的经典教材，但是证明反倒更为简单。

另一个抽象的东西，是概率论有关的，比如说Ledoux和Talagrand的Probability in Banach Space，Wellner和van der Vaart的Weak Convengence and Empirical Processes，Jacod和Shiryaev的Limit Theorems for Stochastic Processes基本也把最抽象的一些概率和分析的交替讲清楚了。

这些书已经handle像是Le Cam的Asymptotic Methods in Statistical Theory绰绰有余了，甚至理论上还可以在semiparametric下面多搞些东西出来。另一方面，关于概率不等式的书籍如此之多，以至于大部分时候，除去几个常见的trick自己记住，剩下几本就是查书了。

所以说为啥我要看微分几何，尤其是黎曼几何呢？这件事情先得从当年那个被吹到神乎其神的Optimal Transport Theory说起来。我无意冒犯这方面的理论研究者，也知道任何数学理论挖进去绝对是可以做几辈子的。但是Optimal Transport Theory本身的理论完善程度，尤其是在统计/AI理论方面，是完全无法跟Le Cam理论的深度相比的。但是，Le Cam理论包括后续的Semiparametric的进展，或者是纯粹的非参数理论（见例如Maximum Penalized Likelihood这本书），多半都是建立在简单的估计过程基础上的，而深度学习偏偏优化是个巨核心无比的事情。所以从一个动态的角度来看，似乎是完全可以扩展Le Cam的理论的。

于是这个时候问题就来了。让我第一个惊讶的是，Dynamic System多半是建立在黎曼流形，或至少一般的微分流形基础之上的，并且其理论还在非常快速的发展中，所以想直接抽出来几个定理恐怕是不行的。幸运的是，Information Geometry这个玩意似乎把概率和流形已经做了一些链接，从这个角度来看，似乎只要把Information Geometry的东西套到黎曼几何里面，似乎就可以搞出来点东西来了。

这个时候出现了一个最让我惊讶的事情，就是黎曼几何的书籍居然如此的“混乱”。大部分初级黎曼几何的教材大概率把所有东西扔到微分方程上，总之算一下东西就出来了。但是问题是：

1. 做概率的恐怕最不熟悉的就是微分方程了；
2. 大部分微分方程恐怕解不出来；
3. 以上两点导致结果，如果想从不等式角度出发，首先得对微分方程贼熟，然后还得知道微分方程对应的不等式（比如说Sobolov空间），这对于学概率的都很麻烦。

但是这不是问题的全部，问题的全部是，如果黎曼几何如果仅仅从算一些东西的角度出发，那么很难将黎曼几何当中搞出来一些常见的数学性质，比如说各种拓扑的性质。没有这些性质，黎曼几何和整个数学其他领域似乎就是分割的（显然事实不是如此）。

结果是，我大概折腾了半个月的时间，到处找黎曼几何好的教材。今天算是刚刚找到了一些方向。

首先，和泛函分析非常侧重于巧妙的证明结果不同，黎曼几何当中是有大量计算的。从这个角度来说，do Carmo这本书是我目前能找到的最清楚的一本书。除了这个以外，还可以找找看Tensor Calculus的书。整体来说，这些书都是教会你熟悉微分几何当中这些计算符号。

紧接着，一个改变我视角的书是Berger这本大百科。这本书没有证明，但是把很多相关的结论都列了出来。我扫了一眼这本书目录，非常粗略的了解了一下在讲什么，这个时候你才知道原来黎曼几何可以跟这么多领域联系起来。至于如果需要知道证明的策略，那么估计还是需要去看书中给出的参考材料的。

到这里，我们终于可以欺世盗名的把Information Geometry当中的流形拿进来用了。但是我还要推荐最后一本书，那就是Lang的这本书。这本书虽然看起来没有介绍任何新的课题，但是书中所有技巧都不是建立在有限维欧氏空间，而是在Banach空间或者Hilbert空间的。通过这种方式，我们终于可以看到黎曼几何当中一些问题的本质。

只有微分方程相关的书，尤其是不等式，这个我就不是专家了。等到遇到再说吧。

路走歪了我不负责。