集合划分讲解-And-2021年ACM竞赛班训练2021.5.20-问题 E: 登上火星-题解

Posted 2021-05-24 Tisfy

集合划分

集合划分，把$n$个数分成$k$个集合，不能包含空集，所有的划分数量记为斯大林数，用$S(n,k)$表示。

目前斯大林数没有直接的公式，但是有递推公式。

S(n,k)=S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k)

终止条件：S(n,n)=1（n数分n份）、S(n,1)=1（n数分1份）
可以理解为：

把n个数分成k份

• 如果前面n-1个数分成了k-1份，那么这个第n个数必须独自一个集合，方法数=前面n-1个数分成k-1份的方法数。
• 如果前面n-1个数已经分成了k份，那么这个第n个数可以放到这分好的k个集合中的任意一个，所以乘以k。

注意，这种分配方式中，被分配的苹果是不同的，盛放苹果的篮子是相同的。

那么对于我校OJ的这道题：

传送门

• 集合划分
• • 登上火星
  • • 题目描述
    • 输入描述
    • 输出描述
    • 样例一
    • • 输入
      • 输出
• 题目分析
• AC代码

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登上火星

传送门

时间限制：1秒
空间限制：128M

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题目描述

• 2021年5月15日，中国探测器登上火星！这是一个值得纪念的日子。

• 2137年，中国CNSA研制成功了可以登上火星的载人飞船。

n个人乘坐k个飞船去火星，每个飞船视为相同，问有多少中乘坐方法？

注意，如果有空的飞船，CNSA是不会点火的。所以请保证每艘飞船都有人。

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输入描述

给你两个数$n$和$k$，通过空格隔开，保证$n\ge k$，代表$n$个人乘坐$k$艘飞船。
科技在进步，当年最多承载$25$人去火星，总共有$25$艘飞船。（$0<n\le 25,0<k\le n$）

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输出描述

请输出有多少种不同的乘坐方法

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样例一

输入

4 2

输出

7

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题目分析

直接参考前面的递推公式即可。

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AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll S[30][30]={0};
ll getS(int n,int k)
{
    if(S[n][k])return S[n][k];
    if(n==k||k==1)return S[n][k]=1;
    return S[n][k]=getS(n-1,k-1)+k*getS(n-1,k);
}
int main()
{
    int n,k;
    cin>>n>>k;
    cout<<getS(n,k)<<endl;
    return 0;
}

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