2020 China Collegiate Qinhuangdao Site G. Good Number(分段算贡献)

Posted 2021-05-24 issue是fw

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定义数字$x$是好数,有${\lfloor }^k\sqrt{x}\rfloor$是$x$的因子

求$[1,n]$中有多少个好数字

---

当$k=1$时答案显然是$n$

否则

考虑${\lfloor }^k\sqrt{x}\rfloor$的取值范围

最坏情况下$k=2$,而$\sqrt{10^9}<10^5$

随意我们完全可以枚举${\lfloor }^k\sqrt{x}\rfloor$的值

我们知道$1^k=1$,所以$1$对应的${\lfloor }^k\sqrt{x}\rfloor$就是$1$

我们也可以计算出$2^k$,显然$2^k$对应的${\lfloor }^k\sqrt{x}\rfloor$就是$2$

所以我们得到区间$[1,2^k-1]$对应的${\lfloor }^k\sqrt{x}\rfloor$是$1$

区间$[2^k,3^k-1]$对应的${\lfloor }^k\sqrt{x}\rfloor$是$2$

以此类推,计算这个区间内的贡献即可

注意计算$i^k$时候手算,不然会爆$longlong$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int t,n,k,casenum;
int get(int l,int r,int k)
{
	return r/k - (l-1)/k;
}
signed main()
{
	cin >> t;
	while( t-- )
	{
		cin >> n >> k;
		cout << "Case #" << ++casenum << ": ";
		if( k==1 )	cout << n << endl;
		else
		{
			int ans = 0, las = 1;
			for(int i=2;i<=n;i++)
			{
				int now = 1;
				//手动计算i^k放置爆long long 
				for(int j=1;j<=k&&now<=n;j++)	now *= i;
				ans += get(las,min(n,now-1),i-1);
				las = now;
				if( las>n )	break;
			}
			cout << ans << endl;
		}
	}
}