CodeForces - 1498E Two Houses(交互+图论，结论题)

Posted 2021-05-24 Frozen_Guardian

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题目大意：给出一个由 $n$ 个点组成的竞赛图，现在要求出一组点对 $(A,B)$，满足两个点可以互达，且入度的绝对值之差最大

题目分析：结论题，先放结论：

结论：竞赛图强连通缩点后的DAG呈类似于链状，前面的所有点向后面的所有点连边，即拓扑序在前的SCC的任意一节点的入度严格小于拓扑序在后的SCC的任意一节点入度

有了这个结论后，就可以 $O(n^2)$ 还原出所有的无向边，按照入度绝对值之差贪心排序，每次询问度数较大的点是否可达度数较小的点即可

这里还有一个可以不用询问的做法，需要基于上述结论的一个扩展，证明参考至：大牛博客

简单来说就是：按照入度从小到大排序，如果到前 $i$ 个点的入度和恰好为 $\frac{i\ast (i-1)}{2}$，则出现了一个新的强连通分量，假设上一次符合条件的点是 $last$，则 $[lst+1,i]$ 区间中的点构成了一个新的强连通分量

综上直接扫一遍就可以实现了

代码：

// Problem: E. Two Houses
// Contest: Codeforces - CodeCraft-21 and Codeforces Round #711 (Div. 2)
// URL: https://codeforces.com/contest/1498/problem/E
// Memory Limit: 256 MB
// Time Limit: 3500 ms
// 
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

// #pragma GCC optimize(2)
// #pragma GCC optimize("Ofast","inline","-ffast-math")
// #pragma GCC target("avx,sse2,sse3,sse4,mmx")
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<stack>
#include<climits>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#include<sstream>
#include<cassert>
#include<bitset>
#include<list>
#include<unordered_map>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef unsigned long long ull;
template<typename T>
inline void read(T &x)
{
	T f=1;x=0;
	char ch=getchar();
	while(0==isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(0!=isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
	x*=f;
}
template<typename T>
inline void write(T x)
{
	if(x<0){x=~(x-1);putchar('-');}
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
const int inf=0x3f3f3f3f;
const int N=1e6+100;
pair<int,int>node[N];
int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
//	freopen("data.in.txt","r",stdin);
//	freopen("data.out.txt","w",stdout);
#endif
//	ios::sync_with_stdio(false);
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int x;
		read(x);
		node[i]={x,i};
	}
	sort(node+1,node+1+n);
	LL sum=0,last=0;
	int ans1=0,ans2=0,mmax=-1;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		sum+=node[i].first;
		if(sum==i*(i-1)/2) {
			if(i-1!=last&&node[i].first-node[last+1].first>mmax) {
				mmax=node[i].first-node[last+1].first;
				ans1=node[i].second,ans2=node[last+1].second;
			}
			last=i;
		}
	}
	printf("! %d %d\\n",ans1,ans2);
	return 0;
}