2021年度训练联盟热身训练赛第八场 B题 Gene Tree树中所有叶结点之间的距离平方和
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了2021年度训练联盟热身训练赛第八场 B题 Gene Tree树中所有叶结点之间的距离平方和相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
2021年度训练联盟热身训练赛第八场 B Gene Tree
题意很简单：求树中所有叶结点之间的距离平方和（若树根的度为1也看作叶结点）。
对于树根root，取两个叶结点x,y，设其距离为dis(x,y)，x,y最近公共祖先为lca(x,y)，则有：
d
i
s
(
x
,
y
)
=
d
i
s
(
r
o
o
t
,
x
)
+
d
i
s
(
r
o
o
t
,
y
)
−
2
∗
d
i
s
(
r
o
o
t
,
l
c
a
(
x
,
y
)
)
dis(x,y)=dis(root,x)+dis(root,y)-2*dis(root,lca(x,y))
dis(x,y)=dis(root,x)+dis(root,y)−2∗dis(root,lca(x,y))我们进行一次dfs即可求得dis(root,x)和dis(root,y)，实现
O
(
n
)
O(n)
O(n)预处理。
dis(root,x)简写为
d
x
d_x
dx，dis(root,y)简写为
d
y
d_y
dy，dis(root,lca(x,y))简写为
d
l
c
a
d_{lca}
dlca，化简
[
d
i
s
(
x
,
y
)
]
2
[dis(x,y)]^2
[dis(x,y)]2如下：
[
d
i
s
(
x
,
y
)
]
2
=
(
d
x
)
2
+
(
d
y
)
2
−
4
∗
d
l
c
a
∗
(
d
x
+
d
y
)
+
4
∗
(
d
l
c
a
)
2
+
2
∗
d
x
∗
d
y
[dis(x,y)]^2=(d_x)^2+(d_y)^2-4*d_{lca}*(d_x+d_y)+4*(d_{lca})^2+2*d_x*d_y
[dis(x,y)]2=(dx)2+(dy)2−4∗dlca∗(dx+dy)+4∗(dlca)2+2∗dx∗dy
维护三个值sz、sum1、sum2，放入结构体tr[i]中表示（用
j
∈
s
o
n
(
i
)
j∈son(i)
j∈son(i) 表示j为i的子孙结点）：
tr[i].sz表示点i的子树中叶结点个数。tr[i].sum1表示点i的子树中所有点j到子树根i的距离和，即 ∑ j ∈ s o n ( i ) d j \\sum_{j∈son(i)} d_j ∑j∈son(i)dj。tr[i].sum2表示点i的子树中所有点j到子树根i的距离平方和，即 ∑ j ∈ s o n ( i ) ( d j ) 2 \\sum_{j∈son(i)} (d_j)^2 ∑j∈son(i)(dj)2。
那么要求 [ d i s ( x , y ) ] 2 [dis(x,y)]^2 [dis(x,y)]2就转化成了维护四部分相加。设x是u的子孙结点，y是v的子孙结点，lca(x,y)为点u，点u的直接孩子为点v，那么写成代码如下：
-
p
1
=
∑
x
∈
s
o
n
(
u
)
∑
y
∈
s
o
n
(
v
)
[
(
d
x
)
2
+
(
d
y
)
2
]
p_1=\\sum_{x∈son(u)}\\sum_{y∈son(v)}\\ [(d_x)^2+(d_y)^2]
p1=∑x∈son(u)∑y∈son(v) [(dx)2+(dy)2]
p1=tr[v].sz*tr[u].sum2+tr[u].sz*tr[v].sum2; -
p
2
=
∑
x
∈
s
o
n
(
u
)
∑
y
∈
s
o
n
(
v
)
[
−
4
∗
d
l
c
a
∗
(
d
x
+
d
y
)
]
p_2=\\sum_{x∈son(u)}\\sum_{y∈son(v)}\\ [-4*d_{lca}*(d_x+d_y)]
p2=∑x∈son(u)∑y∈son(v) [−4∗dlca∗(dx+dy)]
p2=(-4)*dis[u]*(tr[v].sz*tr[u].sum1+tr[u].sz*tr[v].sum1); -
p
3
=
∑
x
∈
s
o
n
(
u
)
∑
y
∈
s
o
n
(
v
)
[
4
∗
(
d
l
c
a
)
2
]
p_3=\\sum_{x∈son(u)}\\sum_{y∈son(v)}\\ [4*(d_{lca})^2]
p3=∑x∈son(u)∑y∈son(v) [4∗(dlca)2]
p3=4*dis[u]*dis[u]*tr[u].sz*tr[v].sz; -
p
4
=
∑
x
∈
s
o
n
(
u
)
∑
y
∈
s
o
n
(
v
)
[
2
∗
d
x
∗
d
y
]
p_4=\\sum_{x∈son(u)}\\sum_{y∈son(v)}\\ [2*d_x*d_y]
p4=∑x∈son(u)∑y∈son(v) [2∗dx∗dy]
p4=2*tr[u].sum1*tr[v].sum1;
说明一下第二次dfs每层的具体操作。搜索点 u u u时，假设其孩子有 v 1 v_1 v1, v 2 v_2 v2,…, v m v_m vm，当搜索完孩子 v i v_i vi，返回本层时， v 1 v_1 v1,…, v i − 1 v_{i-1} 以上是关于2021年度训练联盟热身训练赛第八场 B题 Gene Tree树中所有叶结点之间的距离平方和的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
[Nowcoder] 2021年度训练联盟热身训练赛第六场 Mini Battleship | 深搜 回溯 乱搞
[Nowcoder | UPC] 2021年度训练联盟热身训练赛第六场 Hopscotch | 最短路 bfs