Codeforces Round #721 (Div. 2) Codeforces-1527

Posted 2021-05-23 JophieQu

掉大分+自闭场QAQ

A. And Then There Were K

随便瞎搞一个数$101110001_{(2)}$，然后递减对齐观察。
$10111000[1{]}_{(2)}$
$1011[1]000[0{]}_{(2)}$
$1011[0]1111_{(2)}$
…
$[1]00000000_{(2)}$
$[0]11111111_{(2)}$
显然找到最高位的1后再-1后的&结果为0。一开始暴力求解t了一次，我菜死了呜呜

void solves(){
	int n;cin>>n;
	int ans=1;
	while(ans<=n) ans*=2;
	ans/=2;
	cout<<ans-1<<endl;
}

B1. Palindrome Game (easy version)

思维受限了，一个多小时里对自己的假思路深信不疑。。我好傻QAQ
详细阐述一下必败态。
我们记0的个数为cnt，
1.cnt=1时BOB win
2.cnt为奇数（cnt!=1）时，只要ALICE先选取中间的0（第一步选取非中间的0是必败态），无论BOB选取哪个，ALICE都能选取和它对称的那个0。一直到剩下最后的一对0，此时ALICE反转操作即可。
举个栗子：00000
A 00100
B 01100
A 01110
B 11110
A reverse
B 11111
3.cnt为偶数时，BOB可以不停选取和ALICE所选取的对称的0，一直到剩下最后一对0，此时BOB进行反转操作即可。举个栗子：000000
A 100000
B 100001
A 110001
B 110011
A 111011
B reverse
A 111111

其实讲了这么多，我只是想表达这个sb题的必败态就是先选取有对称0的那个。。cnt=1的时候没有对称0，后手胜。cnt为奇数时，先手选取中点，后手不得不选取先对称0，导致先手必胜。cnt为偶数时，先手不得不先选取对称0，导致后手必胜。

void solves(){
	int n;cin>>n>>s;
	int cnt=0;
	for(auto x:s){
		if(x=='0') cnt++;
	}
	if(cnt&1){
		if(cnt==1)cout<<"BOB\\n";
		else cout<<"ALICE\\n";
	} else{
		cout<<"BOB\\n";
	}
}

B2. Palindrome Game (hard version)

这里我们只对一开始为非回文串进行讨论。
先给出结论。记 将非回文串变为回文串的最少改变的0的个数为cnt，记通过最少改变次数后的回文串的0的个数为o。当cnt=1且o=1时，ALICE和BOB是平手，其他情况都是ALICE胜利。
结论有比较详细的讨论证明，但是有点太长了，我不想写了（真的太长不想写，有兴趣的话可以私信一起交流）。这里就简单提一下分析的思路QAQ
我们记ALICE的花费为A，BOB的花费为B。在easy version分析必败态的时候我们知道，当最初的string是回文时（ALICE先手），两人都使用最优策略的情况下，当0的个数为1时，有【A=1,B=0】；当0的个数是偶数时，有【B+2=A】；0的个数为奇数是，有【A+1=B】。
显然，我们发现当一开始都为回文串的时候，两人在使用最优策略的情况下，二者花费的差值不超过2。那么我们可以对cnt=1,cnt=2,cnt>2来进行讨论。
当cnt=1时，有…（自己讨论一下先后手。只有当o=1时是DRAW，其他情况都是ALICE win）
cnt=2，有…（自己讨论一下先后手，反正讨论完的结果都是ALICE win）
cnt>2时，显然都是ALICE win。

void solves(){
	int n;cin>>n>>s;
	int cnt=0;
	int o=count(s.begin(),s.end(),'0');
	for(int l=0,r=n-1;l<r;++l,--r){
		if(s[l]!=s[r]) cnt++;
	}
	o-=cnt;
	if(!cnt){
		if(o&1){
			if(o==1)cout<<"BOB\\n";
			else cout<<"ALICE\\n";
		} else{
			cout<<"BOB\\n";
		}
	} else{
		if(!o){
			cout<<"ALICE\\n";return ;
		}
		if(cnt==1){
			if(o==1) cout<<"DRAW\\n";
			else cout<<"ALICE\\n";
		} else{
			cout<<"ALICE\\n";
		}
	}
}

C. Sequence Pair Weight

想想每对pair都会在哪些区间上

void solves(){
	int n;cin>>n;
	ll ans=0;
	map<ll,ll>mp;
	for(int i=0;i<n;++i){
		int x;cin>>x;
		ans+=mp[x]*(n-i);
		mp[x]+=(i+1);
	}
	cout<<ans<<endl;
}