世界上有没有正五面体？

Posted 2021-05-23 brooksychen

平面图形里有正三角形，三维空间里有正四面体（四个顶点，四个面，六条棱 ），那么进一步问，有没有正五面体？

 

实际上，三维空间中只存在五种正多面体，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。可以通过欧拉定理得出该结论。

欧拉定理如下：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有这样的关系：

v - e + f = 2　　①

 

正多面体的每个面都是正多边形，不妨把边数记为n，而且

n ≥ 3　　②

同时，由于每条棱都属于两个面，故多面体的面数和棱数有以下关系：

nf = 2e　　③

 

每个顶点都是由多条棱相交而成，不妨把与每个顶点相接的棱数记为r。由于顶点是多面体中的顶点，故

r ≥ 3　　④

否则由两条棱相交的顶点只能是平面图形中的顶点。同时，由于每条棱都连接两个顶点，故多面体的顶点数和棱数有以下关系：

rv = 2e　　⑤

 

把③式和⑤式代入①式，可以得到消掉变量f和v的等式：

2e/r - e + 2e/n = 2，

等式两边同时除以2e可以得到：

1/r - 1/2 + 1/n = 1/e，

即

1/r + 1/n = 1/e + 1/2　　⑥

 

由于一个正多面体的棱数e至少是6（想想这是为什么），所以⑥式右边最大值为

1/6 + 1/2 = 2/3，

同时，由于棱数e为正数，不论e取何值，⑥式右边一定大于1/2，即

1/2 ＜ ⑥式右边 ≤ 2/3　　⑦

再由②式和④式可知，r ≥ 3，n ≥ 3。但当 r ≥ 4，n ≥ 4时，⑥式左边≤1/4 + 1/4，即⑥式左边≤1/2，与⑦矛盾。故r和n的取值可分为以下几种情况讨论：

⑴ r ≥ 4时，由于不能同时满足n ≥ 4，而n ≥ 3又必须满足，故此时n = 3。代入⑥式，得1/r = 1/e + 1/6。由于1/r = 1/e + 1/6 ＞ 1/6，故r ＜ 6，故r只能取3、4、5。r = 3，n = 3时代入⑥式和③式得f = 4，此时是一个正四面体；r = 4，n = 3时有f = 8，此时是一个正八面体；r = 5，n = 3时有f = 20，此时是一个正二十面体。

 

⑵ 与⑴类似，n ≥ 4时，由于不能同时满足r ≥ 4，而r ≥ 3又必须满足，故此时r = 3。同理可得n只能取3、4、5。r = 3，n = 3时代入⑥式和③式得f = 4，此时是一个正四面体；r = 3，n = 4时有f = 6，此时是一个正六面体（即立方体）；r = 3，n = 5时有f = 20，此时是一个正十二面体。

 

⑶ r ≥ 4，n ≥ 4都不满足的时候，又由于r ≥ 3，n ≥ 3，故只能有r = 3，n = 3，此时f = 4，是一个正四面体。

由以上证明可知，三维空间中只存在五种正多面体，分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体，当然也就不存在正五面体。