世界上有没有正五面体?

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平面图形里有正三角形,三维空间里有正四面体(四个顶点,四个面,六条棱 ),那么进一步问,有没有正五面体?
 
实际上,三维空间中只存在五种正多面体,分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。可以通过欧拉定理得出该结论。

欧拉定理如下:如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f,那么它们总有这样的关系:
v - e + f = 2  ①
 
正多面体的每个面都是正多边形,不妨把边数记为n,而且
n ≥ 3  ②
同时,由于每条棱都属于两个面,故多面体的面数和棱数有以下关系:
nf = 2e  ③
 
每个顶点都是由多条棱相交而成,不妨把与每个顶点相接的棱数记为r。由于顶点是多面体中的顶点,故
r ≥ 3  ④
否则由两条棱相交的顶点只能是平面图形中的顶点。同时,由于每条棱都连接两个顶点,故多面体的顶点数和棱数有以下关系:
rv = 2e  ⑤
 
把③式和⑤式代入①式,可以得到消掉变量f和v的等式:
2e/r - e + 2e/n = 2,
等式两边同时除以2e可以得到:
1/r - 1/2 + 1/n = 1/e,
1/r + 1/n = 1/e + 1/2  ⑥
 
由于一个正多面体的棱数e至少是6(想想这是为什么),所以⑥式右边最大值为
1/6 + 1/2 = 2/3,
同时,由于棱数e为正数,不论e取何值,⑥式右边一定大于1/2,即
1/2 < ⑥式右边 ≤ 2/3  ⑦
再由②式和④式可知,r ≥ 3,n ≥ 3。但当 4,n 4时,⑥式左边≤1/4 + 1/4,即⑥式左边≤1/2,与⑦矛盾。故r和n的取值可分为以下几种情况讨论:
4时,由于不能同时满足n 4,而n ≥ 3又必须满足,故此时n = 3。代入⑥式,得1/r = 1/e + 1/6。由于1/r = 1/e + 1/6 > 1/6,故r < 6,故r只能取3、4、5。r = 3,n = 3时代入⑥式和③式得f = 4,此时是一个正四面体;r = 4,n = 3时有f = 8,此时是一个正八面体;r = 5,n = 3时有f = 20,此时是一个正二十面体。
 
⑵ 与⑴类似, 4时,由于不能同时满足r 4,而r ≥ 3又必须满足,故此时r = 3。同理可得n只能取3、4、5。r = 3,n = 3时代入⑥式和③式得f = 4,此时是一个正四面体;r = 3,n = 4时有f = 6,此时是一个正六面体(即立方体);r = 3,n = 5时有f = 20,此时是一个正十二面体。
 
4,n 4都不满足的时候,又由于r ≥ 3,n ≥ 3,故只能有r = 3,n = 3,此时f = 4,是一个正四面体。
由以上证明可知,三维空间中只存在五种正多面体,分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体,当然也就不存在正五面体。

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