计算机组成原理——浮点数的表示

Posted 2021-05-22 流楚丶格念

文章目录

• 从科学计数法出发
• 浮点数的表示
• • 浮点数表示形式
  • 浮点数的真值：
  • 举个栗子
• 浮点数尾数的规格化
• • 左归与右归
  • 例题：浮点数加法
• 规格化浮点数的特点
• • 1. 用原码表示的尾数进行规格化：
  • 2. 用补码表示的尾数进行规格化：
  • 3. 表示范围
  • 4. 注意事项（※）

从科学计数法出发

普通计数法： [phone]
科学计数法：+3.026 * 10^11

将11提出来就是阶码，写成浮点数形式就是+11 +3.026

浮点数的表示

定点数：如纯小数0.1011和纯整数11110

浮点数表示形式

阶码：常用补码或移码表示的定点整数
尾数：常用原码或补码表示的定点小数

浮点数的真值：

阶码E反映浮点数的表示范围及小数点的实际位置；
尾数M的数值部分的位数n反映浮点数的精度。

举个栗子

例题：阶码、尾数均用补码表示，求a、b的真值
a = 0,01;1.1001
b = 0,10;0.01001

解：
a： 阶码0,01对应真值+1
尾数1.1001对应真值-0.0111

a的真值 = 2¹×(−0.0111) = −0.111
（相当于尾数表示的定点小数算数左移一位，或小数点右移一位）

b： 阶码0,10对应真值+2
尾数0.01001对应真值+0.01001

b的真值 = 2²×(+0.01001) = +1.001
（相当于尾数表示的定点小数算数左移2位，或小数点右移2位）

浮点数尾数的规格化

规格化浮点数：规定尾数的最高数值位必须是一个有效值 。

左归与右归

• 左规：当浮点数运算的结果为非规格化时要进行规格化处理， 将尾数算数左移一位，阶码减1。

• 右规：当浮点数运算的结果尾数出现溢出（双符号位为01或10）时， 将尾数算数右移一位，阶码加1。

说白了就是：

• 左归就是通过算数左移、阶码减1 来规格化

• 右归就是通过算数右移、阶码加1 来规格化

例题：浮点数加法

例：a = 010;00.1100，b = 010;00.1000，求a+b

解：a = 2²×00.1100 ，b = 2²×00.1000
a+b
= 2²×00.1100 + 2²×00.1000
= 2²×(00.1100 + 00.1000)
= 2²×01.0100
= 2³×00.1010

（注：采用“双符号位” ，当溢出发生时，可以挽救。更高的符号位是正确的符号位）

规格化浮点数的特点

1. 用原码表示的尾数进行规格化：

• 正数为0.1××…×的形式，其最大值表示为0.11…1；最小值表示为0.10…0。
  尾数的表示范围为1/2≤M≤(1−2⁻ⁿ)。
• 负数为1.1××…×的形式，其最大值表示为1.10…0；最小值表示为1.11…1。
  尾数的表示范围为−(1−2⁻ⁿ)≤M≤−1/2。

2. 用补码表示的尾数进行规格化：

• 正数为0.1××…×的形式，其最大值表示为0.11…1；最小值表示为0.10…0。
  尾数的表示范围为1/2≤M≤(1−2−n)。
• 负数为1.0××…×的形式，其最大值表示为1.01…1；最小值表示为1.00…0。
  尾数的表示范围为−1≤M≤−(1/2+2−n)

3. 表示范围

4. 注意事项（※）

1. 规格化的原码尾数，最高数值位一定是1

2. 规格化的补码尾数，符号位与最高数值位一定相反

3. 补码算数左移，低位补0；补码算数右移，高位补1