快速选择算法(求解第k大)

Posted 2021-05-22 Harris-H

快速选择算法(求解第k大)

​ 快速选择算法基于快排。

​ 复习一波快排：

void quick_sort(int l,int r){
	if(l<r){
	int i=l,j=r,x=a[l];//x是基数. 
	while(i<j){
		while(i<j&&a[j]>x) j--;	//从右往左找到第一个小于等于x的 
		if(i<j) a[i++]=a[j];//填到左边i 
		while(i<j&&a[i]<x) i++;//从左往右找到第一个大于等于x的 
		if(i<j) a[j--]=a[i];//填到右边j 
	}a[i]=x;
	quick_sort(l,i-1);//递归 
	quick_sort(i+1,r);
	}
} 

• 选择一个基数
• 把比该基数小的放到左边，大的放到右边。
• 递归左、右部分。

因此我们只需要知道第$k$大是多少，我们并不关心它的左、右部分是否有序。

所以基于快排，我们可以对时间复杂度进行优化。

• 每次随机选择一个基数，这里用随机的原因，如果每次选最大或者最小的话，时间复杂度最坏会达到$O(n^2)$。
• 然后把该基数交换到最右部分。
• 遍历$[l,r)$，用两个指针$i,j$，开始都指向$l$。
  • 若当前$a[j]\le x$，就交换$(a[i],a[j])$，然后两个指针都向右移动一位。
  • 否则，$j$指针向右移动一位。
• 当遍历完之后，交换$a[i],a[r]$，此时$i$左边的元素都小于等于它，右边的都大于它。
• 然后返回位置$i$，即该元素是第$i$小的。
  • 若该位置$i$是我们要找到第$i$小，则直接返回。
  • 否则若$i<pos$，则往右递归，否则往左递归。
• 这样每次只用递归一个部分，不用像快排那样递归两个部分。

时间复杂度：$O(n)$

事实上$STL$已经帮我们实现了$(void)nth\_element(start,pos,end)$

nth_element(a.begin(),a.begin()+k-1,a.end()) 
return a[k-1]; //第k小

nth_element(a.begin(),a.begin()+k-1,a.end(),greater<int>())
return a[k-1]; //第k大

自己实现第$k$大。

int partition(vector<int>&a,int l,int r){
	int i = rand()%(r-l+1)+l;
	swap(a[i],a[r]);
	int x=a[r];i=l;
	for(int j=l;j<r;j++){
		if(a[j]<=x){
			swap(a[i++],a[j]);
		}
	}
	swap(a[i],a[r]);
	return i;
    }
    int nth(vector<int>&a,int l,int r,int p){
        int q=partition(a,l,r);
        if(q==p) return a[q];
        else return q<p?nth(a,q+1,r,p):nth(a,l,q-1,p);
    }
	int solve(vector<int> &a,int k){
        srand(time(0));
        return nth(a, 0, a.size() - 1, a.size() - k);
    }