第十一届山东省大学生程序设计竞赛题解（9 / 13）

Posted 2021-05-21 繁凡さん

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了第十一届山东省大学生程序设计竞赛题解（9 / 13）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

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比赛地址：

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/15600

在这里插入图片描述

第十一届山东省大学生程序设计竞赛（9 / 13）

B. Build Roads

Problem

给定一个 $n$ 个点的无向完全图， $i$ 和 $j$ 之前的边权是 $gcd(a_i,a_j)$ ，保证数组 a 随机，求 MST。

Solution

边权为 $gcd(a_i, a_j)$ ，显然如果存在一个点 $a_x$ 是素数，则从该点向所有的点连边，这样连接的 $n - 1$ 条边的权值都是1，答案就是 $n - 1$ 。

若 $L = R$ ，则 $R + L + 1 = 1$ ，模1之后得到的显然都是0，也就是说 $n^2$ 条边的权值都是 $L$ ，答案显然就是 $L\\times (n-1)$ 。

然后因为 $n$ 比较大， $n\\le 10^5$ ，所以我们考虑分情况讨论。

若 $n$ 比较小，可以直接暴力 $O(n^2)$ 连边然后求最小生成树即可。

若 $n$ 较大，若 $R - L + 1$ 较大，则根据素数分布，int范围内的素数间距大概就是几百左右，这样 $L\\sim L+(R-L+1)$ 中一定会有素数，也就是说一定会出现一个 $a_i\\ \\text{is\\ prime}$ ，答案显然就是上面讨论的 $n - 1$ 。

若 $n$ 较大， $R - L + 1$ 较小，出题人可以找一个没有素数的区间 $[L, R]$ ，那么答案还是 $n - 1$ 吗？显然仍然是，因为 $n$ 较大， $R - L + 1$ 较小说明 $a_1\\sim a_n$ 一定会把 $[L, R]$ 给取满了，也就是 $a_i$ 是一堆连续的数，而相邻两个数互质，所以答案一定还是 $n - 1$ 。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ull = unsigned long long;
const int maxn = 2e5+5;

bool prime[maxn];

int n,L,R,a[maxn];
ull seed;

void getprime()
{
    memset(prime,1,sizeof(prime));
    prime[1] = 1;
    for(int i = 2;i <= 200000;++i){
        if(prime[i]){
            for(int j = i+i;j <= 200000;j += i)prime[j] = 0;
        }
    }
}

ull xorshift64()
{
    ull x = seed;
    x ^= x<<13;
    x ^= x>>7;
    x ^= x<<17;
    return seed=x;
}

int gen()
{
    return xorshift64()%(R-L+1)+L;
}


struct Edge
{
    int x,y,cost;
};

void solve1()
{
    vector<Edge>edge;
    for(int i = 1;i <= n;++i){
        for(int j = i+1;j <= n;++j){
            edge.push_back({i,j,__gcd(a[i],a[j])});
        }
    }
    vector<int> pre(n+1);
    for(int i = 1;i <= n;++i)pre[i] = i;
    sort(edge.begin(),edge.end(),[](const Edge&a,const Edge&b)->bool{
        return a.cost<b.cost;
    });
    function<int(int)> Find = [&](int x)->int{
        return pre[x]==x?x:pre[x] = Find(pre[x]);
    };
    int ans = 0;
    for(auto &x:edge){
        int fx = Find(x.x);
        int fy = Find(x.y);
        if(fx!=fy){
            pre[fx] = fy;
            ans += x.cost;
        }
    }
    printf("%d\\n",ans);
}



int main()
{
    getprime();
    scanf("%d%d%d%llu",&n,&L,&R,&seed);
    for(int i = 1;i <= n;++i){
        a[i] = gen();
    }   
    for(int i = 1;i <= n;++i){
        if(prime[a[i]]){
            printf("%d\\n",n-1);
            return 0;
        }
    }
    if(n <= 3000){
        solve1();
    }
    else if(L!=R){
        printf("%d\\n",n-1);
    }
    else printf("%lld\\n",1ll*R*(n-1));
}

C. Cat Virus

Problem

给定一棵树，黑白染色方案，满足一个黑点的子树都是黑点，白点任意。
你现在构造一棵树，使得它的染色方案数为 $K$ 。

Solution

给定方案数让我们构造出一颗满足条件的树，我们先考虑对于一颗树，我们如何计算它的方案数。

我们设 $f (u)$ 表示染色 $u$ 以及 $u$ 的所有子树的方案数，显然对于 $u$ 的所有子节点 $v$ ，其中若将 u 染成黑色结点，则方案数为1（儿子全都是黑色结点），若将 u 染成白色，则方案数为 $\\prod f(v)$ ，即： $f(u)=\\prod (f(v)+1)+1$ 。