二叉树的五条性质

Posted 2021-05-21 Rainbowman 0

性质一

对任何一棵二叉树，在第i层上最多有2^i-1个结点（i≥1）。

性质二

对任何一棵二叉树，深度为 k 的二叉树上至多含 2k-1 个结点（k≥1）。

证明：

由性质一可知，第i层最多有2^i-1个结点，所以深度为k的二叉树的结点个数最多为：2⁰+2¹+…+2^k-1 = 2^k-1

性质三

对任何一棵二叉树，若它含有n0 个叶子结点、n2 个度为 2 的结点，则必存在关系式：n0 = n2+1。

Ps：度为结点的孩子个数，对于二叉树而言结点的度只能为0，1，2

证明： 设二叉树有n个结点，n0个度为0的结点，n1个度为1的结点，n2个度为2的结点： 则有n = n0 + n1 + n2 分支数b =
n - 1（除了根结点外，所有的结点都对应一个分支） 又有b = n1 + 2*n2 因此，n0 = n2 + 1

性质四

对于完全二叉树而言，若其具有 n 个结点，则深度为 floor(log2n)+1

Ps1：floor为向下取整。

Ps2： 何为完全二叉树

性质五

若对含 n 个结点的完全二叉树从上到下且从左至右进行 1 至 n 的编号，则对完全二叉树中任意一个编号为 i 的结点：

（1）若 i=1，则该结点是二叉树的根，无双亲, 否则，编号为 floor(i/2) 的结点为其双亲结点;

（2）若 2i>n，则该结点无左孩子， 否则，编号为 2i 的结点为其左孩子结点；

（3）若 2i+1>n，则该结点无右孩子结点，否则，编号为2i+1 的结点为其右孩子结点。

注意：前3条性质是对于所有二叉树而言的，后两条性质仅针对完全二叉树。