图的应用——如何构造最小生成树

Posted 2021-05-21 Rainbowman 0

目录

• 1. 图的基本概念
• 2. 什么是最小生成树？
• 3. 普利姆算法

1. 图的基本概念

1.什么是图？

图由顶点和边组成，表示为G（V,E），其中G表示一个图，V是图G中顶点的集合，E是图G中边的集合。根据边是否有方向，可分为有向图和无向图。

2. 邻接点

两结点之间通过边相连，则互为邻接点。如在上面的无向图中，（1，3），（2，5）等都为邻接点。

3. 顶点的度

顶点的度指的是与顶点v相连的边的数目。对于无向图来讲，只有度的概念，而对于有向图来讲，可分为入度和出度。入度是指向该顶点的边的条数，出度是从该顶点发出的边的条数。上面的有向图中，顶点1的入度为1，出度为2。

4. 权值

表示从一个顶点到另一个顶点的距离或耗费。

5. 连通性

对于两结点u，v，若通过u可到达v，则u和v是联通的。

在图 G 中，任意的 结点vi,vj∈ V，有 vi,vj 连通，图 G 是连通的。

6. 连通分量

图中的极大联通子图。

2. 什么是最小生成树？

简单来讲，最小生成树就是图中包含全部顶点的极小连通子图。

即：
（1）需要保证包含图中的所有结点；

（2）该图是连通的；

（3）图中的所有边的权值之和最小。

例如

对于该图来讲，加粗的红色的边即为最小生成树。

3. 普利姆算法

思想

（1）最小生成树的一条性质：

设集合V中包含了图中的所有顶点，集合U中包含了图中的部分顶点，现在把集合V分成U和V-U两个集合，u是集合U的一个顶点，v是集合V-U中的一个顶点，如下图所示：

若<u, v>是权值最小的边，则<u, v>边必被包含在最小生成树中。

（2）普利姆算法的思想：

【1】设集合V中包含了图中的所有顶点，集合U一开始为空集，则初始时V-U=V；设集合TE包含了最小生成树的所有边，TE初始时为空；

【2】从V-U集合中随意取出一个顶点放入U中；

【3】从U集合中的顶点(U1,U2,…Un)，和V-U集合中的顶点(V1,V2,…Vm)中各选一个，保证边<Ui, Vj>的权值最小；

【4】将边<Ui, Vj>加入集合TE，将顶点Vj从集合V-U加入到集合U；

【5】重复3、4步骤，直到U中包含图中所有结点。

示意图

代码

代码实现时有一点需要注意，我们需要用一个辅助数组CloseEdge来帮助实现“将V-U集合中的顶点加入到U集合中”这一思想。

各部分的解释在注释中有较为详细的说明。

#include <iostream>
#define INFINITY 99999
#define MAX_VEX_NUM 20
using namespace std;
typedef char NumType;

//以下代码为构造图的过程
struct Graph
{
    NumType Vex[MAX_VEX_NUM];
    int Edge[MAX_VEX_NUM][MAX_VEX_NUM];
    int VexNum;
    int EdgeNum;
};
int Locate(Graph G,NumType v)
{
    int i;
    for(i=0;i<G.VexNum;i++)
        if(G.Vex[i]==v)return i;
    return -1;
}
void CreateGraph(Graph &G)
{
    cout<<"请输入结点个数和边的条数：";
    cin>>G.VexNum;
    cin>>G.EdgeNum;
    int i,j,k;
    for(i=0;i<G.VexNum;i++)
        for(j=0;j<G.VexNum;j++)G.Edge[i][j]=INFINITY;
    cout<<"请输入顶点信息：";
    for(i=0;i<G.VexNum;i++)cin>>G.Vex[i];
    cout<<"请输入边和权值：";
    int w;
    NumType v1,v2;
    for(k=0;k<G.EdgeNum;k++)
    {
        cin>>v1;cin>>v2;cin>>w;
        i=Locate(G,v1);j=Locate(G,v2);
        G.Edge[i][j]=w;
        G.Edge[j][i]=G.Edge[i][j];
    }
}

//以上代码都是构造图的过程（邻接矩阵）
//下面的代码才是最小生成树的算法
struct ClosEdge
{
    NumType u;
    int w;
};
//CloseEdge的下标存的是V-U集合中的顶点，NumType存的是U集合中的顶点
// w=0意味着该CloseEdge的下标对应的顶点已经在U集合中，否则代表该顶点在V-U集合中
int MiniClosEdge(ClosEdge *closedge,Graph G)//找到从U集合顶点到V-U集合顶点权重最小的边，返回V-U集合中的顶点对应的下标
{
    int minn=99999;
    int i,j;
    for(i=0;i<G.VexNum;i++)
        if(minn>closedge[i].w&&closedge[i].w!=0){minn=closedge[i].w;j=i;}
    return j;
}
void MiniSpanTree(Graph G)
{
    ClosEdge SubArray[MAX_VEX_NUM];
    int i;
    //一开始U集合中只有下标为零的这一个结点，下两行为初始化步骤
    for(i=1;i<G.VexNum;i++)SubArray[i]={G.Vex[0],G.Edge[0][i]};
    SubArray[0].w=0;
    int k;
    for(i=1;i<G.VexNum;i++)//共n-1条边，故i从1开始
    {
        k=MiniClosEdge(SubArray,G);
        cout<<SubArray[k].u<<"-"<<G.Vex[k]<<endl;
        SubArray[k].w=0;
        int j;
        //把与新加入的顶点（从V-U集合加入到U集合）相邻顶点的边的权值加入到辅助向量CloseEdge[]中（更新操作，保证w的值为目前为止从顶点SubArray[k].u到顶点G.Vex[k]最小的）
        for(j=0;j<G.VexNum;j++)
            if(G.Edge[k][j]<SubArray[j].w)SubArray[j]={G.Vex[k],G.Edge[k][j]};
    }
}
int main()
{
    Graph G;
    CreateGraph(G);
    MiniSpanTree(G);
    return 0;
}