README3动态规划之“找零钱”说明最优子结构怎么解决

Posted 快乐江湖

tags:

篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了README3动态规划之“找零钱”说明最优子结构怎么解决相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

接上文:【README2】动态规划之斐波那契数列说明重叠子问题如何解决

找零钱问题说明最优子结构

lLeetCode 509:零钱兑换
在这里插入图片描述

(1)何为最优子结构

这里面的子结构其实指的就是子问题,但是要成为最优子结构必须满足子问题之间相互独立

举个例子:如果你的终极问题是考的最高的成绩,那么你的子问题就是如何把数学考的最高分,如何把语文考到最高分…这里很明显可以发现,数学和语文以及其他科目的成绩不会相互制约,所以这个过程符合最优子结构。一旦子问题之间相互干扰,比如数学考的越高,语文考的越低,那么永远也无法得到最高分,这就不是最优子结构

回到凑零钱的问题来,它就很好的满足了最优子结构。以下面这个例子为例
在这里插入图片描述
你想要解决“如何以最少的硬币凑够11元”的问题,那么那就需要先解决“如何以最少的硬币凑够10元”的子问题,因为一旦满足刚才的子问题,只需要加上一块硬币(面值为1)就能解决终极问题了

(2)状态转移方程 暴力解法

前文就说过,暴力解法本质体现的就是状态转移方程,一旦能够列出状态转移方程,剩余的只是一些比较容易的优化工作

所以这里我们按照之前列状态转移方程的思路,进行探求

  1. base case(最简单的情况)是什么:很显然使目标金额如果为0,就让程序返回0,此时不需要任何硬币就可以凑出目标金额了
  2. 这个问题有什么状态?也即是原问题和子问题的变量:也很简单,金额数是在不断变化的,不断向base case靠近。
  3. 每个状态可以做怎样得到选择使得状态变化:这也很清晰,每次进入递归时可以选择一个面值的硬币,相当于减少了目标金额数
  4. 如何定义dp数组或递归函数来表达状态和选择:见下

我们说过暴力解法实则就是自顶向下的过程,所以这里定义的dp函数的参数一般就是状态转移中的变量,函数的返回值则是题目让我们求的值
就这道题而言,能很明确金额数可以作为函数形参,返回值就是要求的硬币的数量

根据以上思路,写出算法的伪代码

def coinChange(coins:List[int],amout:int)
{
	#定义:要凑出金额n,至少需要dp[n]枚硬币
	def dp[n]:
		#做选择,选择需要硬币最少的那个结果
			for coin in coins
				res=min(res,1+dp[n-coin])
			return res
	#题目最终要求的结果是amount
	return dp[amount];
}

如下,根据伪代码我们可以写出暴力解法的代码

class Solution {
public:
    int dp(vector<int>& coins,int n)
    {
        if (n==0) return 0;
        if (n<0) return -1;//base case
        int res=INT_MAX;//INT_MAX代表永远都取不到,
        for(size_t i=0;i<coins.size();i++)
        {
            int subproblem=dp(coins,n-coins[i]);//状态变化,选择了一块硬币,金额就变少了
            if(subproblem==-1)//如果等于-1表明行不通,继续下一个
                continue;
            res=min(res,1+subproblem);//始终保持最小
        }
        if (res!=INT_MAX)//永远都取不到就会返回-1
            return res;
        else
            return -1;
        
    }
    
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) 
    {
       return dp(coins,amount);
        
    }
};

暴力解法就代表了状态转移方程,所以它的状态转移方程为
在这里插入图片描述

当然这道题是无法通过的,因为暴力解法时间复杂度太大
在这里插入图片描述
画出递归树,就可以看见很多重叠子问题没有解决
在这里插入图片描述

(3)备忘录解决重叠子问题

所以为了降低时间复杂度,我们设置一个备忘录,如果有值就直接拿取

class Solution {
public:
    int dp(vector<int>& coins,int n,unordered_map<int,int>& memory)
    {
        //每次进入dp后首先查备忘录
        if(memory.find(n)!=memory.end())
            return memory[n];
        if (n==0) return 0;
        if (n<0) return -1;//base case        
        
        int res=INT_MAX;
        for(size_t i=0;i<coins.size();i++)
        {
            int subproblem=dp(coins,n-coins[i],memory);
            if(subproblem==-1)
                continue;
            res=min(res,1+subproblem);
            memory[n]=res;//加入备忘录
        }
        if (res!=INT_MAX)
        {
            return memory[n];
        }
        else
            return -1;
        
    }
    
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) 
    {
       unordered_map<int,int> memory;
       return dp(coins,amount,memory);
        
    }
};

(4)迭代解法

如果采用迭代解法解决,则和前面的有所区别,前面的dp函数中,参数列表是状态,返回值是目标值。如果采用迭代写法,那么索引就是状态,索引对应的数组值就是返回结果

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) 
    {
        //amount金额的硬币最多需要amount块硬币(全为1,初始化amount+1相当于是正无穷,方面后续取最小值)
        vector<int> dp(amount+1,amount+1);
        dp[0]=0;//base case
        
        
        for(int i=0 ;i < dp.size();i++)//最外层的for循环遍历的是每个状态
        {
            for(auto coin : coins)//该for循环用于求所有选择的最小值
            {
                if(i-coin<0)//子问题无解
                    continue;
                dp[i]=min(dp[i],1+dp[i-coin]);//状态转移,想象11和10的关系
            }
        }
        
        return (dp[amount]==amount+1) ? -1 : dp[amount];
    }
};

在这里插入图片描述

以上是关于README3动态规划之“找零钱”说明最优子结构怎么解决的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

十动态规划

动态规划之找零钱问题

动态规划法找零钱问题

动态规划法找零钱问题

贪心算法

动态规划之最大递增子序列