《LeetCode之每日一题》:31.爬楼梯
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了《LeetCode之每日一题》:31.爬楼梯相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
题目链接: 爬楼梯
有关题目
假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢?
注意:给定 n 是一个正整数。
示例 1:
输入: 2
输出: 2
解释: 有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶
示例 2:
输入: 3
输出: 3
解释: 有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶
题解
1.青蛙跳台阶四种解法
2.斐波那契数列一种解法
3.通项公式法
我们已经知道该题满足
F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)(n >= 2)显然满足线性关系,
有下面的递推数列的特征方程:
x ^ 2 = x + 1
其他推导方法:斐波那契数列通项公式推导
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
double sqrt5 = sqrt(5);
double fibn = pow((1 + sqrt5) / 2, n + 1) - pow((1 - sqrt5) / 2, n + 1);
//这边为啥是n + 1
//因为通向前两项为 1 1
// 当我们的n = 2时其实是第三项
//其实就是下标从零开始罢了
return (int)round(fibn / sqrt5);
//函数round指的是四舍五入意思
//我们的sqrt(5)是个小数
//我们的fibn中由于分成了两部分所以,有可能减出来的值可能有微小的偏差,在使用强制类型转换时,可能无法准确得出结果,所以用四舍五入函数进行计算
//要么我们就在考虑取整风险return (int)(fibn / sqrt5 + 0.5)
}
};
时间复杂度:与pow函数的时间复杂度有关
空间复杂度:O(1)
4、矩阵快速幂
那我们只需将M的n次方算出来就可以了
参考官方题解
class Solution {
public:
vector<vector<long long>> multiply(vector<vector<long long>> &a,vector<vector<long long>> &b)
{
vector<vector<long long>> c(2,vector<long long>(2));
for (int i = 0; i < 2; i++)
{
for (int j = 0; j < 2; j++)
{
c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
}
}
//这边绕不过来,就直接C[0][0] =
//C[0][1]=
//反正就四种情况
return c;
}
//矩阵n次幂--二分法求解
vector<vector<long long>> matrixPow (vector<vector<long long>> &a, int n)
{
vector<vector<long long>> ret = {{1,0},{0,1}};
while(n > 0)
{
if ((n & 1) == 1)//注:==的优先级顺序高于 &
{
ret = multiply(ret,a);
}
n >>= 1;
a = multiply(a,a);
}
return ret;
}
public:
int climbStairs(int n) {
vector<vector<long long>> ret = {{1,1},{1,0}};
vector<vector<long long>> res = matrixPow(ret,n);
return res[0][0];
}
};
时间复杂度:O(log n),二分查找次数
空间复杂度:O(1)
C版本
注:C版本中我们需注意的是,利用结构体完成数组间直接赋值
struct Matrix {
long long mat[2][2];
};
struct Matrix multiply(struct Matrix a, struct Matrix b) {
struct Matrix c;
for (int i = 0; i < 2; i++) {
for (int j = 0; j < 2; j++) {
c.mat[i][j] = a.mat[i][0] * b.mat[0][j] + a.mat[i][1] * b.mat[1][j];
}
}
return c;
}
struct Matrix matrixPow(struct Matrix a, int n) {
struct Matrix ret;
ret.mat[0][0] = ret.mat[1][1] = 1;
ret.mat[0][1] = ret.mat[1][0] = 0;
while (n > 0) {
if ((n & 1) == 1) {
ret = multiply(ret, a);
}
n >>= 1;
a = multiply(a, a);
}
return ret;
}
int climbStairs(int n) {
struct Matrix ret;
ret.mat[1][1] = 0;
ret.mat[0][0] = ret.mat[0][1] = ret.mat[1][0] = 1;
struct Matrix res = matrixPow(ret, n);
return res.mat[0][0];
}
以上是关于《LeetCode之每日一题》:31.爬楼梯的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章