2021/5/17 刷题笔记买卖股票的最佳时机与动态规划

Posted 2021-05-20 黑黑白白君

文章目录

• 买卖股票的最佳时机
• • 【题目】
  • 【我的方法】
  • • 执行结果：
• 动态规划算法
• • 1、状态定义
  • 2、设置数组边界值
  • 3、推导状态转换方程。
  • • 参考代码
    • • 执行结果：
      • 复杂度分析：
      • • 时间复杂度
        • 空间复杂度
  • *进行空间优化：
  • • 参考代码V2：
    • • 复杂度分析：
      • • 空间复杂度
        • 时间复杂度

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买卖股票的最佳时机

【题目】

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。


示例 1：

• 输入：[7,1,5,3,6,4]
• 输出：5
• 解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出，最大利润 = 6-1 = 5 。
• 注意利润不能是 7-1 = 6, 因为卖出价格需要大于买入价格；同时，你不能在买入前卖出股票。
  
  

示例 2：

• 输入：prices = [7,6,4,3,1]
• 输出：0
• 解释：在这种情况下, 没有交易完成, 所以最大利润为 0。
  
  

提示：

1 <= prices.length <= 105
0 <= prices[i] <= 104

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来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

【我的方法】

• 对于只有两个元素的数组[a2,a1]，利润为max(a1-a2,0)
• 对于三个元素的数组[a3,a2,a1]，利润要么是[a2,a1]的利润，要么是max(a2,a1)-a3
• 因此可推出有n个元素的数组的最大利润

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        if len(prices)<2:
            return 0
        else:
            res = 0
            tempmax=prices[-1]
            i = len(prices)-2
            while(i>=0):
                if tempmax>prices[i]:
                    res = max(res,tempmax-prices[i])
                else:
                    tempmax=prices[i]  # 记录当前元素右侧最大的数
                i-=1
            return res

执行结果：

• 执行用时：224 ms, 在所有 Python3 提交中击败了82.94%的用户

• 内存消耗：23.5 MB, 在所有 Python3 提交中击败了52.35%的用户

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动态规划算法

1、状态定义

创建一个一维数组或者二维数组，保存每一个子问题的结果。在此问题中，dp[i][j]表示第i天结束后手上的现金，j=0表示不持股，j=1表示持股。

2、设置数组边界值

一维数组就是设置第一个数字，二维数组就是设置第一行跟第一列的值。在此问题中，dp[0][0]=0，dp[0][1]=0-prices[0]，因为第1天的股票价格当成初始的0。

3、推导状态转换方程。

也就是说找到每个状态跟上一个状态的关系，根据状态转化方程写出代码。在此问题中，第i天的状态只与第i-1天有关。

• dp[i][0]表示第i天不持股，分两种情况：
  • 第i-1天也不持股，即今天无行为。
  • 第i-1天持股，则今天卖出股票。
• dp[i][1]表示第i天持股，分两种情况：
  • 第i-1天不持股，则今天为买入股票。（注意：只允许交易一次，因此手上的现金数就是当天的股价的相反数）
  • 第i-1天也持股，则今天无行为。

4. 返回需要的值，一般是数组的最后一个或者二维数组的最右下角。

参考代码

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        length=len(prices)
        dp = [[0 for i in range(2)]]*length
        dp[0][1]=-prices[0]
        for i in range(1,length):
            dp[i][0]=max(dp[i-1][0],dp[i-1][1]+prices[i])
            dp[i][1]=max(dp[i-1][1],-prices[i])
        return dp[length-1][0]  # 如果最后一天还不卖则利润为0

执行结果：

• 执行用时：508 ms, 在所有 Python3 提交中击败了7.74%的用户

• 内存消耗：22.7 MB, 在所有 Python3 提交中击败了99.48%的用户

复杂度分析：

• 时间复杂度

  O(n)

• 空间复杂度

  O(n)

*进行空间优化：

空间优化只看状态转移方程。

状态转移方程里下标为 i 的行只参考下标为 i - 1 的行（即只参考上一行），并且：

• 下标为 i 的行并且状态为 0 的行参考了上一行状态为 0 和 1 的行。
• 下标为 i 的行并且状态为 1 的行只参考了上一行状态为 1 的行。

参考代码V2：

class Solution:
    def maxProfit(self, prices: List[int]) -> int:
        length=len(prices)
        dp = [0]*2
        dp[1]=-prices[0]
        for i in range(1,length):
            dp[0]=max(dp[0],dp[1]+prices[i])
            dp[1]=max(dp[1],-prices[i])
        return dp[0]

复杂度分析：

• 空间复杂度

  O(1)

• 时间复杂度

  O(n)