运筹学笔记 整数规划

Posted 2021-05-20 Lora鳃鳃

在前面讨论的线性规划问题中，最优解可能是整数，也可能不是整数，但对于某些实际问题，要求答案必须是整数。如所求的解是安排上班的人数，按某个方案剪裁钢材的根数，生产机器的台数等。
整数规划是一类要求变量取整数值的数学规划。

文章目录

• • 1 整数规划问题的提出
  • 2 整数规划与分支定界法
  • 3 整数规划与割平面法
  • 4 指派问题

1 整数规划问题的提出

所谓整数规划（Integer Programming，简称IP）：
决策变量要求取整数的线性规划

数学模型：

整数规划问题可以分为下列几种类型：
1 . 纯（全）整数线性规划（Pure Integer Linear Programming):指全部决策变量都必须取整数的整数线性规划。
2 . 混合整数线性规划 （Mixed Integer Linear Programming): 指决策变量中有一部分必须取整数，另一部分可以不取整数值的整数线性规划。
3 . 0-1整数规划（0-1 Integer Linear Programming）：指决策变量只能取值0、1的整数线性规划。

2 整数规划与分支定界法

分支定界法可用于解纯整数或混合的整数线性规划问题
混合整数规划问题一般有无穷多个可行解。即使是纯整数规划问题，随着问题规模的扩大，其可行解的数目也将急剧增加。因此通过枚举全部可行解，并从中筛选出最优解的算法没有实际应用价值。
分支定界法是一种隐枚举法（implicit enumeration)或部分枚举法，是枚举法基础上的改进。
分支定界法的关键是分支和定界

原问题的松驰问题：任何整数规划（IP），凡放弃某些约束条件（如整数要求）后，所得到的问题（P） 称为（IP）的松驰问题。

分支定界法的步骤：
一般求解对应的松驰问题，可能会出现下面几种情况：
若所得的最优解的各分量恰好是整数，则这个解也是原整数规划的最优解，计算结束。
若松驰问题无可行解，则原整数规划问题也无可行解，计算结束
若松驰问题有最优解，但其各分量不全是整数，则这个解不是原整数规划的最优解，转下一步。

从不满足整数条件的基变量中任选 一个x_l 进行分枝，它必须满足x_l ≤[x_l ] 或x_l ≥[x_l ] +1中的一个，把这两个约束条件加进原问题中，形成两个互不相容的子问题（两分法）。
定界：把满足整数条件各分枝的最优目标函数值作为上（下）界，用它来判断分枝是保留还是剪枝。
剪枝：把那些子问题的最优值与界值比较，凡不优或不能更优的分枝全剪掉，直到每个分枝都查清为止。

“分支”为整数规划最优解的出现创造了条件，而“定界”则可以提高搜索的效率。

例1. 用分枝定界法求解：

用单纯形法可解得相应的松驰问题的最优解为（6/5，21/10）
Z=111/10为各分枝的上界。

3 整数规划与割平面法

此方法的基础仍然是用解线性规划的方法去解整数规划问题。
思路： 先不考虑变量x_i是整数这一条件，但增加线性约束条件（几何术语：割平面）使得由原可行域中切割掉一部分（此部分只包含非整数解，没有切割掉任何整数可行解），使切割后最终得到这样的可行域，它的一个有整数坐标的极点恰好是问题的最优解。
该方法是1958年R.E.Gormory首先提出的，故又称为Gormory割平面法
割平面法的关键： 如何找到适当的割平面？
构造割平面约束的方法很多，下面只介绍一种（它可以从相应线性规划的最终单纯形表中直接产生）

先通过举一简单的例子入手，介绍算法的过程

将上推导对应一般情况，可得：
思路：
用割平面法解整数规划时，若其松弛问题的最优解x不满足整数条件，则从x的非整分量中选取一个，用以构造一个线性约束条
件，将其加入原松弛问题中，形成一个新的线性规划之后求解。
若新的最优解满足整数条件，则它就是整数规划的最优解，否则重复上述步骤，直到获得最优解为止。
为获得整数最优解，每次增加的线性约束条件应满足2个基本性质
（1）已获得的不符合整数要求的线性规划最优解不满足该线性约束条件，从而不可能在以后的解中再出现。
（2）凡整数可行解均满足该线性约束条件，故整数最优解始终被保留在每次形成的线性规划可行域中。

4 指派问题

一类特殊的0-1规划问题：将m项工作分派给n个人去做，既发挥各人特长又使总效率最高。
又如：某单位需完成n项任务，恰好有n个人可承担这些任务。由于各人的专长不同，故各人完成任务的效率（如时间等）不同。问题需解决确定指派哪个人完成哪项任务，使完成n项任务的总效率最高等。
上述类型问题称为指派问题（assignment problem)

指派问题是0-1规划及运输问题的特例，可用前已学方法求解，但不够方便。
（下介绍一针对指派问题特点的简便求解方法。)
指派问题的标准形式为：
即：目标求最小，且系数矩阵为方阵（每项工作只能由1个人做，每个人只能做一项工作）


从中即可说明，系数矩阵中元素本身的大小不决定最优解，而元素之间的差值发生则可能改变最优解
其中k为一个常数，故当z达最大值时，z’也达到最大值

(完)