解此方程，就得到了导数为零处的极值。它们可能是极大、极小或鞍点处的值，只要挨个儿比较它们的函数值大小即可。但是，这个方程是否容易求解呢？这取决于f 导函数的形式。在SLAM 中，我们使用李代数来表示机器人的旋转和位移。但这不代表我们就能够顺利求解上式这样一个复杂的非线性方程。而对于不方便直接求解的最小二乘问题，我们可以用迭代的方式，从一个初始值出发，不断地更新当前的优化变量，使目标函数下降。具体步骤可列写如下：

这让求解导函数为零的问题，变成了一个不断寻找梯度并下降的过程。直到某个时刻增量非常小，无法再使函数下降。此时算法收敛，目标达到了一个极小，我们完成了寻找极小值的过程。在这个过程中，我们只要找到迭代点的梯度方向即可，而无需寻找全局导函数为零的情况。接下来的问题是，增量Δxk 如何确定？

不同的优化算法的不同主要体现在增量的更新方式上。如果采用不合适的更新方式，其实很容易陷入局部最小值。这里给出一个关于局部最小值和全局最小值的直观的理解。如下图所示：

通常我们希望迭代得到的是全局最小值（只有一个）而不是局部最小值（可能有多个）。下图表示的是不同初始值对迭代结果的影响。如果我们初值设的是红色的θ0，最后找到的极小值位于 θ∞，在这个例子中它是全局最小值。但是如果我们初值设的是蓝色的 θ'0，最后我们找到的极小值位于 θ'∞，显然只是局部最小值，不是全局最小值。

故此，对于优化问题，我们希望对目标函数有一定的限制。如果我们的目标函数是凸函数，那么可以保证最终找到的极小值就是最小值。

凸函数的概念

凸函数（convex function）定义如下：

简单来说~凸函数其实就是一个「碗」状曲线，碗口向上。对于一元二次可微函数，如果它的二阶导数是正的，那么该函数就是严格凸函数。对于多元二次可微函数，当它的Hessian矩阵是正定的时候，就是严格凸函数。

1、如果一个函数是凸函数，那么它有且只有一个极值点，且这个极值点是最值点。

2、几个非负凸函数的和仍然是凸函数。

3、如果一个函数不是凸函数，那么它可能只有一个极值点，也可能有多个极值点（局部极值点和全局极值点）

对于优化问题，在优化函数是凸函数的前提下，初值也很重要。在做最优化计算时，都需要提供变量的初始值，而在SLAM问题中，一般会通过PnP或者ICP之类提供优化初始值。关于PnP问题，可以参考之前的博客《学习笔记之——P3P与ICP位姿估计算法及实验》，后面的博客《学习笔记之——视觉里程计》也会介绍一下ICP。

接下来对各种优化算法做一个简单的介绍~优化算法的发展顺序是：梯度下降、牛顿法、高斯牛顿法、LM法。

梯度下降（Gradient Descent）法

梯度下降法是求解无约束优化问题最简单和最古老的方法之一，虽然现在已经不具有实用性，但是许多有效算法都是以它为基础进行改进和修正而得到的。梯度下降法，其本质是一阶优化算法，有时候也称为最速下降法（Steepest Descent）。与其对应的是梯度上升法(Gradient ascent)，用来求函数的极大值，两种方法原理一样，只是计算的过程中正负号不同而已。

在微积分里，对函数求导数（如果是多元函数则求偏导）得到的就是梯度。具体来说，对于函数 f(x,y)，在点 (x0,y0)，沿着梯度向量的方向就是(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)，它的方向是 f(x,y) 增加最快的方向。或者说，沿着梯度向量的方向，更加容易找到函数的极大值。反过来说，沿着梯度向量相反的方向，也就是 -(∂f/∂x0, ∂f/∂y0) 的方向，梯度减少最快，也就是更加容易找到函数的极小值。

以一元函数为例，假设目标函数为F(x)，梯度的符号为∇，那么在梯度下降中，自变量x每次按照如下方式迭代更新：

其中 λ 称为步长或者学习率。按照上述方式迭代更新自变量，直到满足迭代终止条件，此时认为自变量更新到函数最小值点。下图是梯度下降法的示意图。

总结一下梯度下降法：

1、实际使用中使用梯度下降法找到的通常是局部极小值，而不是全局最小值。

2、具体找到的是哪个极小值和初始点位置有很大关系。

3、如果函数是凸函数，那么梯度下降法可以保证收敛到全局最优解（最小值）

4、梯度下降法收敛速度通常比较慢

5、梯度下降法中搜索步长 λ 很关键，步长太长会导致找不到极值点甚至震荡发散，步长太小收敛非常慢。

牛顿法

梯度下降法在山谷中容易出现锯齿状的迭代，如下图所示。是二维函数优化的一个例子，不同颜色表示不同高度。我们初始值在蓝色的加号位置，最小值位于绿色的加号位置。图中展示了从不同的初始值开始迭代所需要的迭代次数，可以看到不同初始值会产生非常大的差异。(a) 图只经过5次迭代就收敛了， (b) 图经过了22次迭代才收敛。

这种锯齿状的迭代，可以通过牛顿法来避免。对于同样的目标函数，使用牛顿法在不同的初始值位置（下图中蓝色十字），只需要3、4次迭代即可找到最小值（下图中绿色十字）。

对于泰勒展开式有：

待优化的目标函数和前面一样：

将目标函数在x处进行二阶泰勒展开。对照上述通式，目标函数泰勒展开如下：

其中 J(x) 是 ||f(x)||2 关于x的Jacobian矩阵（一阶导数），H(x)则是Hessian矩阵（二阶导数）。

Jacobian矩阵

假设函数 f = {f1(x1,...,xn), .., fm((x1,...,xn))} 有m维空间组成，对应n个自变量。那么函数 f 的一阶偏导数（如果存在）可以组成一个m行n列的矩阵，称为Jacobian（译为雅克比）矩阵

Hessian矩阵

假设有一个实数函数 f(x1,...,xn)，如果函数 f 的所有二阶偏导数存在，那么称如下矩阵为Hessian矩阵，它是一个n x n 的方阵。

而梯度下降法可以认为是泰勒展开式中只取到了一阶项，二阶项后面的部分丢弃。而在牛顿法中，泰勒展开中取到二阶导数，我们的目标函数变为：

对其关于△x求导，并令其为0，可以得到步长

类似于梯度下降法，我们用上述步长来迭代优化，最终收敛到极值点。这个过程就称为牛顿法。牛顿法与梯度下降法的直观比较理解如下图所示。红点和蓝点的梯度（一阶导数）是一样的，但是红点出的二阶导数比蓝点大，也就是说在红点处梯度变化比蓝点处更快，那么最小值可能就在附近，因此步长就应该变小；而蓝点处梯度变化比较缓慢，也就是说这里相对平坦，多走一点也没事，那么可以大踏步往前，因此步长可以变大一些。所以我们看到牛顿法迭代优化时既利用了梯度，又利用了梯度变化的速度（二阶导数）的信息。

高斯牛顿法（Gauss-Newton）

然而牛顿法中包含了Hessian 矩阵的计算。而在高维度下计算Hessian 矩阵需要消耗很大的计算量，很多时候甚至无法计算。而高斯牛顿（Gauss-Newton）法是对牛顿法的一种改进，它用雅克比矩阵的乘积近似代替牛顿法中的二阶Hessian 矩阵，从而省略了求二阶Hessian 矩阵的计算。牛顿法中我们是将目标函数 f(x+△x)^2 进行泰勒展开，而在高斯牛顿法中，我们对 f(x+△x) 进行一阶泰勒展开，如下：

前面我们说过，我们要确定一个步长，使得目标函数

达到最小，将一阶泰勒展开代入，问题转化为如下最小二乘问题：

展开后可得：

对△x求导并令导数为0，可得：

则有：

其中我们把J^TJ作为牛顿法中Hessian矩阵的近似，从而用求一阶雅克比矩阵代替了直接求二阶Hessian矩阵的过程。

Levenberg-Marquardt（LM）法

Levenberg-Marquardt（LM）法在一定程度上修正了高斯牛顿法的缺点，因此它比高斯牛顿法更加鲁棒，不过这是以牺牲一定的收敛速度为代价的--它的收敛速度比高斯牛顿法慢。LM算法中定义的步长为：

其中I是单位矩阵，u是一个非负数。如果 u 取值较大时，uI 占主要地位，此时的LM算法更接近一阶梯度下降法，说明此时距离最终解还比较远，用一阶近似更合适。反之，如果 u 取值较小时，H 占主要地位，说明此时距离最终解距离较近，用二阶近似模型比较合适，可以避免梯度下降的“震荡”，容易快速收敛到极值点。因此参数 u 不仅影响到迭代的方向还影响到迭代步长的大小。设x初值为x0，根据经验可以设置u的初值u0为：

其中，τ可以自己指定，aii表示矩阵A对角线元素。LM采用的搜索方法是信赖域（Trust Region）方法，和梯度下降、牛顿法、高斯牛顿法采用的线性搜索（Line Search）方法不同。

g2o（General graph optimization ）

（官网：https://github.com/RainerKuemmerle/g2o）

ceres与g20都是最小二乘求解器。从带噪声的数据中拟合参数模型。g2o以图模型表达一个最小二乘问题。个人感觉，了解g2o就好了哈~

SLAM的后端一般分为两种处理方法，一种是以扩展卡尔曼滤波（EKF）为代表的滤波方法，一种是以图优化为代表的非线性优化方法。不过，目前SLAM研究的主流热点几乎都是基于图优化的。

在计算资源受限、待估计量比较简单的情况下，EKF为代表的滤波方法比较有效，经常用在激光SLAM中。但它的一个大缺点就是存储量和状态量是平方增长关系，因为存储的是协方差矩阵，因此不适合大型场景。而现在基于视觉的SLAM方案，路标点（特征点）数据很大，滤波方法根本吃不消，所以此时滤波的方法效率非常低。

而在大家还是用滤波算法的年代，在图优化里，Bundle Adjustment（后面简称BA）起到了核心作用。但是那会SLAM的研究者们发现包含大量特征点和相机位姿的BA计算量其实很大，根本没办法实时。后来SLAM研究者们发现了其实在视觉SLAM中，虽然包含大量特征点和相机位姿，但其实BA是稀疏的，稀疏的就好办了，就可以加速了啊！比较代表性的就是2009年，《SBA：A software package for generic sparse bundle adjustment》，而且计算机硬件发展也很快，因此基于图优化的视觉SLAM也可以实时了。

g2o用来做优化的~图优化（graph optimization ）。而到底什么是图优化呢？图优化里的图就是数据结构里的图，一个图由若干个顶点（vertex），以及连接这些顶点的边（edge）组成，举个例子：比如一个机器人在房屋里移动，它在某个时刻 t 的位姿（pose）就是一个顶点，这个也是待优化的变量。而位姿之间的关系就构成了一个边，比如时刻 t 和时刻 t+1 之间的相对位姿变换矩阵就是边，边通常表示误差项。进而，用顶点表示优化变量，用边表示误差项。如下图所示。是一个简单的图优化例子。我们用三角形表示相机位姿节点，用圆形表示路标点，它们构成了图优化的顶点；同时，蓝色线表示相机的运动模型，红色虚线表示观测模型，它们构成了图优化的边。此时，虽然整个问题的数学形式仍是一个基本的最小二乘问题（），但现在我们可以直观地看到问题的结构了。

在SLAM里，图优化一般分解为两个任务：

1、构建图。机器人位姿作为顶点，位姿间关系作为边。

2、优化图。调整机器人的位姿（顶点）来尽量满足边的约束，使得误差最小。

下面就是一个直观的例子。我们根据机器人位姿来作为图的顶点，这个位姿可以来自机器人的编码器，也可以是ICP匹配得到的，图的边就是位姿之间的关系。由于误差的存在，实际上机器人建立的地图是不准的，如下图左。我们通过设置边的约束，使得图优化向着满足边约束的方向优化，最后得到了一个优化后的地图（如下图中所示），它和真正的地图（下图右）非常接近。

在SLAM领域，基于图优化的一个用的非常广泛的库就是g2o，它是General Graphic Optimization 的简称，是一个用来优化非线性误差函数的c++框架。g2o的基本框架结构如下图所示。

g2o帮助我们实现了很多内部的算法，只是在进行构造的时候，需要遵循一些规则（后面实战敲代码的时候再多看多记一些关键点吧，这里就单纯列一些）

SparseOptimizer是整个图的核心，注意右上角的 is-a 实心箭头，这个SparseOptimizer它是一个Optimizable Graph，从而也是一个超图（HyperGraph）。注意看 has-many 箭头，这个超图包含了许多顶点（HyperGraph::Vertex）和边（HyperGraph::Edge）。而这些顶点顶点继承自 Base Vertex，也就是OptimizableGraph::Vertex，而边可以继承自 BaseUnaryEdge（单边）, BaseBinaryEdge（双边）或BaseMultiEdge（多边），它们都叫做OptimizableGraph::Edge。

下面看看配置SparseOptimizer的优化算法和求解器。整个图的核心SparseOptimizer 包含一个优化算法（OptimizationAlgorithm）的对象。OptimizationAlgorithm是通过OptimizationWithHessian 来实现的。其中迭代策略可以从Gauss-Newton（高斯牛顿法，简称GN）, Levernberg-Marquardt（简称LM法）, Powell's dogleg 三者中间选择一个（我们常用的是GN和LM，上面已经介绍了哈~）。

g2o的整个框架就是按照上图中标的顺序来写的。详细的过程可参考：https://mp.weixin.qq.com/s/j9h9lT14jCu-VvEPHQhtBw

1、创建一个线性求解器LinearSolver

2、创建BlockSolver。并用上面定义的线性求解器初始化。

3、创建总求解器solver。并从GN, LM, DogLeg 中选一个，再用上述块求解器BlockSolver初始化

4、创建终极大boss 稀疏优化器（SparseOptimizer），并用已定义求解器作为求解方法。

5、定义图的顶点和边。并添加到SparseOptimizer中。

6、设置优化参数，开始执行优化。