DFS-八皇后问题

Posted 2021-05-20 桃花涣小鱼干

八皇后问题

题目描述

一个如下的 6×6 的跳棋棋盘，有六个棋子被放置在棋盘上，使得每行、每列有且只有一个，每条对角线（包括两条主对角线的所有平行线）上至多有一个棋子。
上面的布局可以用序列 2 4 6 1 3 5来描述，第 i 个数字表示在第 i 行的相应位置有一个棋子，如下：
行号 1 2 3 4 5 6
列号 2 4 6 1 3 5
这只是棋子放置的一个解。请编一个程序找出所有棋子放置的解。
并把它们以上面的序列方法输出，解按字典顺序排列。
请输出前 3 个解，最后一行是解的总个数。

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输入

一行一个正整数 n，表示棋盘是 n×n 大小的。

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输出

前三行为前三个解，每个解的两个数字之间用一个空格隔开。第四行只有一个数字，表示解的总数。

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样例输入

6

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样例输出

2 4 6 1 3 5
3 6 2 5 1 4
4 1 5 2 6 3
4

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提示

【数据范围】
对于 100%100% 的数据，6 \\le n \\le 136≤n≤13。

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题目来源

八皇后 Checker Challenge

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完整代码如下：

#include<stdio.h>
int n, cnt;
int a[20];
int lie[20];//列
int u[40];//左斜
int v[40];//右斜
void pr()
{
	if (cnt <= 3) 
	{
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			printf("%d ", a[i]);
		printf("\\n");
	}
}
void dfs(int x)
{
	int i;
	if (x > n)
	{
		cnt++;
		pr();
		return;
	}
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (lie[i] == 0 && u[x - i + n] == 0 && v[x + i] == 0)
		{
			lie[i] = 1;
			u[x - i + n] = 1;
			v[x + i] = 1;
			a[x] = i;
			dfs(x + 1);
			lie[i] = 0;
			u[x - i + n] = 0;
			v[x + i] = 0;
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	dfs(1);
	printf("%d", cnt);
	return 0;
}

若为N皇后问题（n组问题）

int main()
{
	while(scanf("%d", &n),n!=0)
	{
		dfs(1);
		printf("%d\\n", cnt);
		cnt = 0;
	}
	return 0;
}

思路详解:

1）本题类型：

我们需要遍历所有的行，然后在遍历行的同时我们要选某一列去放数，有诸多可能性 在这里我们用DFS去遍历所有可能性

2)代码实现：

第一步：定义标记数组：

int lie[20];//列
int u[40];//左斜
int v[40];//右斜

问题一：怎么做？
我们要确保标记点的行和列及左右45度都没其他标记点
因为在这里我们将行数当变量输入DFS函数，一层一层向下递的时候
每一层的函数的行数必然不同，所以行数不必再标记
我们在放一个数时，要对其所在某列，某斜的一串进行标记
所以我们要找到列，左邪，右斜的其本身包含的元素的相同性质
以保证我们标记的是某列某斜的一串
通过观察我们可以发现：
列上的元素本身同列（显而易见）
左斜上元素的行列坐标之和相等
右斜上元素的行列坐标之差的绝对值相等
问题二：为什么左斜和右斜数组开的是列数的二倍？
因为我们是根据性质去标记的，列数最大为n，n最大为13，我们开20的数组已经足够
但是左斜是行列坐标之和，最大可能是2n，我们开40的数组也会够用
右斜是行列坐标之差，可能为负数，我们在标记时将其加n（如下DFS内）
加n后，最大可能是2n-1，我们开40数组确保够用

第二步：DFS函数：

void dfs(int x)
{
	int i;
	if (x > n)
	{
		cnt++;//先累加再输出，让cnt大小和pr内函数相匹配
		pr();
		return;
	}
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		if (lie[i] == 0 && u[x - i + n] == 0 && v[x + i] == 0)
		{
			lie[i] = 1;
			u[x - i + n] = 1;//确保其对应的数组下下标>=1
			v[x + i] = 1;//
			a[x] = i;
			dfs(x + 1);
			lie[i] = 0;
			u[x - i + n] = 0;
			v[x + i] = 0;//常见的回溯过程
		}
	}
}

第三步：输出：

void pr()
{
	if (cnt <= 3) 
	{
		for (int i = 1; i <= n; i++)
			printf("%d ", a[i]);
		printf("\\n");
	}
}

END