2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第七小题
Posted 卓晴
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▓ 第十一次作业各个小题参考答案
§07 第七小题
7. 已知 X ( z ) X\\left( z \\right) X(z) 和 H ( z ) H\\left( z \\right) H(z) 如下式所示， 用 z z z 域卷积定理求 Z T { x [ n ] ⋅ h [ n ] } ZT\\left\\{ {x\\left[ n \\right] \\cdot h\\left[ n \\right]} \\right\\} ZT{x[n]⋅h[n]}.
（1）
X ( z ) = 1 1 − 1 2 z − 1 , ∣ z ∣ > 0.5 ; H ( z ) = 1 1 − 2 z , ∣ z ∣ < 0.5 X\\left( z \\right) = {1 \\over {1 - {1 \\over 2}z^{ - 1} }},\\,\\,\\left| z \\right| > 0.5;\\,\\,\\,\\,H\\left( z \\right) = {1 \\over {1 - 2z}},\\,\\,\\left| z \\right| < 0.5 X(z)=1−21z−11,∣z∣>0.5;H(z)=1−2z1,∣z∣<0.5
（2）
X ( z ) = z z − e − b , ∣ z ∣ > e − b ; H ( z ) = z ⋅ sin ω 0 z 2 − 2 z cos ω 0 + 1 , ∣ z ∣ > 1 X\\left( z \\right) = {z \\over {z - e^{ - b} }},\\,\\,\\left| z \\right| > e^{ - b} ;\\;\\;\\;H\\left( z \\right) = {{z \\cdot \\sin \\omega _0 } \\over {z^2 - 2z\\cos \\omega _0 + 1}},\\,\\,\\left| z \\right| > 1 X(z)=z−e−bz,∣z∣>e−b;H(z)=z2−2zcosω0+1z⋅sinω0,∣z∣>1
提示：应用Z变换的卷积定理
▓ 求解：
（1）解答：
Z
{
x
[
n
]
⋅
h
[
n
]
}
=
1
2
π
j
⋅
∮
C
X
(
v
)
⋅
H
(
z
v
)
⋅
v
−
1
d
v
Z\\left\\{ {x\\left[ n \\right] \\cdot h\\left[ n \\right]} \\right\\} = {1 \\over {2\\pi j}} \\cdot \\oint_C {X\\left( v \\right) \\cdot H\\left( {{z \\over v}} \\right) \\cdot v^{ - 1} dv}
Z{x[n]⋅h[n]}=2πj1⋅∮CX(v)⋅H(vz)⋅v−1dv
=
1
2
π
j
⋅
∮
C
1
1
−
1
2
v
−
1
⋅
1
1
−
2
z
v
v
−
1
d
v
= {1 \\over {2\\pi j}} \\cdot \\oint_C {{1 \\over {1 - {1 \\over 2}v^{ - 1} }} \\cdot {1 \\over {1 - 2{z \\over v}}}v^{ - 1} dv}
=2πj1⋅∮C1−21v−11⋅1−2vz1v−1dv
=
1
2
π
j
⋅
∮
C
v
(
v
−
1
2
)
(
v
−
2
z
)
d
v
= {1 \\over {2\\pi j}} \\cdot \\oint_C {{v \\over {\\left( {v - {1 \\over 2}} \\right)\\left( {v - 2z} \\right)}}dv}
=2πj1⋅∮C(v−21)(v−2z)vdv
根据
X
(
z
)
,
H
(
z
)
X\\left( z \\right),H\\left( z \\right)
X(z),H(z)的收敛域，可知：
∣
v
∣
>
0.5
,
∣
z
v
∣
<
0.5
\\left| v \\right| > 0.5,\\,\\,\\,\\left| {{z \\over v}} \\right| < 0.5
∣v∣>0.5,∣∣vz∣∣<0.5。
所以上述积分函数包含的极点为：
1
2
,
2
z
{1 \\over 2},\\,\\,2z
21,2z。
Z { x [ n ] ⋅ h [ n ] } = R e s [ v ( v − 1 2 ) ( v − 2 z ) ] v = 1 2 + R e s [ v ( v − 1 2 ) ( v − 2 z ) ] v = 2 z = 1 Z\\left\\{ {x\\left[ n \\right] \\cdot h\\left[ n \\right]} \\right\\} = {\\mathop{\\rm Re}\\nolimits} s\\left[ {{v \\over {\\left( {v - {1 \\over 2}} \\right)\\left( {v - 2z} \\right)}}} \\right]_{v = {1 \\over 2}} + \\,{\\mathop{\\rm Re}\\nolimits} s\\left[ {{v \\over {\\left( {v - {1 \\over 2}} \\right)\\left( {v - 2z} \\right)}}} \\right]_{v = 2z} = 1 Z{x[n]⋅h[n]}=Res[(v−21)(v−2z)以上是关于2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第七小题的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第八小题
2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第三小题
2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第二小题
2021年春季学期-信号与系统-第十一次作业参考答案-第六小题