Python代码中的数学之美:从自由落体到爬虫悖论,十分钟开启数学思维

Posted 天元浪子

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Python代码中的数学之美:从自由落体到爬虫悖论,十分钟开启数学思维相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

数学思维,就是用数学的方式去解决问题,就象吃饭用筷子、喝水用杯子一样,自然而然又理所当然。数学思维并非知识的积累,而是一种由特定思维习惯蕴育而成的能力——这种特定习惯的养成,往往是从解决看似简单的问题开始。本文正是从最简单的自由落体运动抽象出数学分析的一般性原理,进而用来回答蠕虫悖论问题。即使对数学抱有恐惧心理的同学,若能静下心来花上十分钟阅读一遍,也一定可以从中体会到数学之美以及数学分析这个工具的威力。

将长度1米的橡皮筋的一端固定,小明拉着另一端以1米/秒的速度向前奔跑。与此同时,一条毛毛虫从橡皮筋固定的一端开始以1厘米/秒的速度追赶小明。假定橡皮筋可以无限均匀拉伸,小明和毛毛虫都可以长生不老,那么,毛毛虫最终能够追得上小明吗?

在这里插入图片描述
这就是被称为“蠕虫悖论”的经典问题,据说是由古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea)提出来的——我对此表示怀疑:四千多年前的古希腊人应该不会制造橡皮筋吧?古希腊儿童也许会跳皮筋,但跳的肯定不是橡皮筋。

不过,考古不是我们的话题,搞明白毛毛虫最终能否追得上小明才是当务之急。乍一看,这是一个典型的追击问题,小学生最拿手。可细细琢磨,每秒钟爬1厘米的毛毛虫似乎永远也不可能追上每秒钟跑100厘米的小明。

抱着脑袋想了很久,稍微有了一点眉目:毛毛虫爬过的距离和橡皮筋总长之比 k k k,一定是时间 t t t的函数,记作:
k = f ( t ) k = f(t) k=f(t)

因为橡皮筋的拉伸是均匀的,当毛毛虫处于某个位置时,如果停止爬行, k k k就保持不变;只要向前爬, k k k就一定是单向递增的;当 k k k等于1时,就意味着毛毛虫追上了小明,此时对应的 t t t就是毛毛虫追上小明所花费的时间。

可是, f ( t ) f(t) f(t)又该如何表示呢?既然是追击问题,我们不妨梳理一下从小到大积累起来的、和速度路程相关的知识点,也许用最简单的思想就能解决这个看似复杂的问题。

小学阶段,我们学会了解决以匀速运动为前提的速度和路程问题。假设物体在 t t t时间内移动的距离为 s s s,则物体移动的平均速度 v v v记作:

v = s t v = \\frac{s}{t} v=ts

中学阶段,我们理解了加速度的概念。假设物体运动的初始速度是 v 0 v_0 v0,加速度为 a a a,经过 t t t时间后的物体运动速度 v v v记作:

v = v 0 + a t v = v_0 + at v=v0+at

对于自由落体而言,加速度一般用 g g g表示(约等于 9.8 m / s 2 9.8m/s^2 9.8m/s2),其初始速度为0,自由落体的瞬时速度 v v v记作:

v = g t v = gt v=gt

t t t时间内,自由落体下落的距离 s s s记作:

s = 1 2 g t 2 s = \\frac{1}{2}gt^2 s=21gt2

这里,自由落体的瞬时速度 v v v和下落距离 s s s都是时间 t t t的函数,二者之间可以互相推导:对距离函数 s s s求导就是瞬时速度函数 v v v,对瞬时速度函数 v v v积分,就是距离函数 s s s

v = s ′ = ( 1 2 g t 2 ) ′ = g t v = s' = ( \\frac{1}{2}gt^2)' = gt v=s=(21gt2)=gt
s = ∫ v d t = ∫ g t d t = 1 2 g t 2 + C s = \\int{vdt} = \\int{gtdt} = \\frac{1}{2}gt^2 + C s=vdt=gtdt=21gt2+C

上式中的常数C表示在自由落体开始降落前的下降距离,显然,C=0。如果理解这两个公式有点吃力,那么请牢记以下三点,这是应用数学分析的方法解决实际问题的三大法宝。

  • 导数是变化率
  • 导数是速度
  • 导数是斜率

导数是变化率!忽然间灵光乍现:既然毛毛虫爬过的距离和橡皮筋总长之比 k k k函数不容易直接写出来,何不尝试一下这个函数的导数 k ′ k' k——也就是在任意的 t t t时刻单位时间内毛毛虫的爬行距离与橡皮筋的长度之比?

不难理解,任意 t t t时刻的橡皮筋长度为 1 + t 1+t 1+t;单位时间内毛毛虫的爬行距离是1厘米,换算成标准单位是0.01米。MyGod,没想到 k ′ k' k就这么轻易地写出来了:

k ′ = 0.01 1 + t k' = \\frac{0.01}{1+t} k=1+t0.01

接下来,只要对 k ′ k' k积分,就可以得到函数 k k k了。积分,就得需要求导公式。也许有些同学已经忘记了如何求导,没关系,只要理解导数的意义,求导公式可以很容易地在网上找到。下面是常用六大基本初等函数的求导公司,其中三角函数和反三角函数的求导公式,我只记住了两个。

  1. 常数函数
    ( C ) ′ = 0 (C)' = 0 (C)=0

  2. 幂函数
    ( x n ) ′ = n x n − 1 (x^n)' = nx^{n-1} (xn)=nxn1

  3. 指数函数
    ( a x ) ′ = a x ln ⁡ a (a^x)' = a^x\\ln{a} (ax)=axlna
    ( e x ) ′ = e x (e^x)' = e^x (ex)=ex

  4. 对数函数
    ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x (\\ln{x})' = \\frac{1}{x} (lnx)=x1

  5. 三角函数
    ( sin ⁡ x ) ′ = cos ⁡ x (\\sin{x})' = \\cos{x} (sinx)=cosx
    ( cos ⁡ x ) ′ = − sin ⁡ x (\\cos{x})' = -\\sin{x} (cosx)=sinx

  6. 反三角函数
    ( arcsin ⁡ x ) ′ = 1 1 − x 2 (\\arcsin{x})' = \\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}} (arcsinx)=1x2 1
    ( arccos ⁡ x ) ′ = − 1 1 − x 2 (\\arccos{x})' = -\\frac{1}{\\sqrt{1-x^2}} (arccosx)=1x2 1

显而易见, k ′ k' k的模样最接近对数函数的导数形式,可以很轻松地写出积分式:

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