傻子上飞机问题

Posted 2021-05-18 海枫

      这是一个很有趣的数学问题，很值得大家去思考。和大家一样，当看到这个问题的时候，用了大量的公式和概率的知识去推算，结果不得而知。

      文：http://blog.csdn.net/fengart/archive/2007/05/11/1603941.aspx
以程序的形式给出了问题的求解，大家可以参考，在此，我向大家介绍我的分析过程，以数学推理的方式而非使用计算机。

题目如下：
100个人排队乘坐有100个座位的飞机，正常情况时每个都都会对号入坐，但是，第一个上飞机的是个傻子，他随机坐了一个位子，接下来的人上飞机时，如果自己座位被人坐了就会随机找个座位坐下，否则就坐自己坐位。问题：最后一个上飞机的人坐到自己座位的概率是多少？？

分析由两部分完成，前一部分作为后一部分的基础。

首先证明第100号乘客不是坐在自己的位置上，就是坐到1号位置上。

记j为第j号乘客，s[j]表示第j号座位上的乘客。s[5]=50，表示第50号乘客坐在5号位置上。

假设s[k] = 100(k!=1, i!=100)，即100即不坐在第1号和100号座位上。
由于s[k]不等于k且k不等于1（即K不是傻子），因此到k上机时，它的位置已被人占用了，并且也只能被1,2,.., k-1占了位置，
即s[k]<k，与s[k]=100相矛盾，故100只能坐在第1号或100号坐座位上。

下面证明100坐在1号座位和100号座位的机会均等

第一个傻子跑上飞机后，如果它坐在第1号座位上，那么2,3,...,100都坐在自己的座位上，那么100坐在自己的座位上；
如果它坐在100号座位上，那么2,3,...,99都坐在自己的座位上，而100只能坐在1号座位上，那么100不能坐在自己的座位上；
以上两种机会是均等的。

否则傻子坐到另外的座位上记为n1(1<n1<100)，那么2,...,n1-1乘客会坐到自己的座位上。

到n1上机后，不能坐在自己的座位上。如果n1坐在1号座位上，那么n1+1,...,100都在坐在自己的座位上；如果n1坐在100号座位上，那么n1+1,...,99都能坐在自己的位置上，100只能坐在1号座位上。这两种情况的机会仍然均等。

否则n1坐到n2号座位上(n1<n2<100)，这样n2坐到1号和100号的座位仍是均等的，否则按上述的坐法经过一系列的推导得到nk=99，此时它可以坐到1号和100号座位，机会仍然均等。
故100坐到1号座位和100号座位的机会是均等的……

故答案为50%。我想这是大家始料不及的答案吧。

第一次想到这个答案，我个人觉得不可思异，太有一种美感在里面，这个概率很大，并且 不 与人数有直接的关系。其实很多数学或者是算法问题都是这样的，经过数学进行分析，结果往往比程序直接求解简单得多了！