Educational Codeforces Round 108 (Rated for Div. 2)-D. Maximum Sum of Products-题解

Posted 2021-05-18 Tisfy

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• • Educational Codeforces Round 108 (Rated for Div. 2)-D. Maximum Sum of Products
  • • Problem Description
    • Input
    • Output
    • Sample Input
    • Sample Onput
    • Note
• 题目大意
• 解题思路
• AC代码

Educational Codeforces Round 108 (Rated for Div. 2)-D. Maximum Sum of Products

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Problem Description

You are given two integer arrays $a$ and $b$ of length $n$.

You can reverse at most one subarray (continuous subsegment) of the array $a$.

Your task is to reverse such a subarray that the sum $\sum _{i=1}^n{a}_i\cdot b_i$ is maximized.

Input

The first line contains one integer $n$ ($1\le n\le 5000$).

The second line contains $n$ integers $a_1,a_2,\dots ,a_n$ ($1\le a_i\le 10^7$).

The third line contains $n$ integers $b_1,b_2,\dots ,b_n$ ($1\le b_i\le 10^7$).

Output

Print single integer — maximum possible sum after reversing at most one subarray (continuous subsegment) of $a$.

Sample Input

5
2 3 2 1 3
1 3 2 4 2

Sample Onput

29

Note

In the first example, you can reverse the subarray $[4,5]$. Then $a=[2,3,2,3,1]$ and $2\cdot 1+3\cdot 3+2\cdot 2+3\cdot 4+1\cdot 2=29$.

In the second example, you don’t need to use the reverse operation. $13\cdot 2+37\cdot 4=174$.

In the third example, you can reverse the subarray $[3,5]$. Then $a=[1,8,3,6,7,6]$ and $1\cdot 5+8\cdot 9+3\cdot 6+6\cdot 8+7\cdot 8+6\cdot 6=235$.

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题目大意

给你两个数组$a$和$b$以及一个整数$n$，每个数组中有$n$个正整数。你可以选择把$a$的一个子串翻转，使得$\sum a_i\ast b_i$最大。

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解题思路

字串必须是连续的！

首先来想最朴素的算法：

i 从 1 到 n:
    j 从 i 到 n:
        k 从 1 到 n:
            如果 i ≤ k ≤ j:
                ans += a[k] * b[j - k + i]
            否则:
                ans += a[k] * b[k]

这样的话复杂度为$O(n^3)$，然而$n$的范围是$1$~$5000$，会超时。


简单优化一下：
因为$i$ ~ $j$外面的$a[k]$和$b[k]$是一一对应的，没有翻转，故可以用一个前缀数组$qianZui$，其中$qianZui[i]$表示${\sum }_{k=1}^{i}a[k]\ast b[k]$。这样的话处于$l$ ~ $r$外面的所有$a[i]\ast b[i]$的和就可以用$O(1)$的时间快速得出，为$qianZui[n]-qianZui[r]+qianZui[l-1]$。


但是，$l$ ~ $r$ 中的元素还是需要一个一个计算，这就使得总体复杂度仍为$O(n^3)$。


继续优化：
既然第三层复杂度的来源是重新计算了$l$ ~ $r$ 中每个$a$与$b$相乘，那么能不能找到一种方法，使得后面的$l$ ~ $r$（翻转部分）的计算基于前面的$l$ ~ $r$的计算结果之上呢？


于是我们想到，如果已知$l$ ~ $r$ 的翻转后的$a$与$b$相乘的值$s_1$，那么就能很快求出$l-1$ ~ $r+1$ 的翻转后的$a$与$b$相乘的值$s_2$，其中 s 2 = s 1 + a [ l − 1 ] ∗ b [ r + 1 ] + a [ r + 1 ] ∗ b [ l − 1 ] s_2=s_1+a[l-1]*b[r+1]+a[

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