P4072 [SDOI2016]征途(wqs二分+斜率优化)

Posted 2021-05-18 issue是fw

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把$n$个数划分为$m$段,求最小的方差.

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设序列和$\sum _{i=1}^n{x}_i=S$,最后选取的每段的数字和为$L_i$

$D=\frac{1}{m}\ast \sum _{i=1}^m(E-L_i{)}^2=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(E^2+L_i^2-2E\ast L_i)$

其中$E=\frac{S}{m}$

$m\ast D=m{E}^2+\sum _{i=1}^m{L}_i^2-2E\ast \sum _{i=1}^m{L}_i$

$m\ast D=m{E}^2+\sum _{i=1}^m{L}_i^2-2m{E}^2$

得到$m^{2}D=m\ast \sum _{i=1}^m{L}_i^2-S^2$

如何最小化$\sum _{i=1}^m{L}_i^2$??

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定义$g(i)$表示当$m=i$时上式的最小值

大胆猜测是个斜率为负的下凸函数(分成一段肯定巨大,分成两段肯定变化显著,越往后分,减小的越慢)

这个下凸函数的斜率逐渐增大

考虑用一条斜率为$k$的直线去切这个凸包,如何求出切点??

$y=kx+b$,因为是切线,所以让$b$最小的点$(x,g(x))$就是切点

那么$b=g(x)-kx$

我们的$x$每增加$1$,$b$值就会减小$k$,也就是每段的权值会减去$k$

现在的问题是可以分成任意段,求最小值

考虑定义$f[i]$表示$[1,i]$的分段代价

f [ i ] = min ⁡ { f [ j ] + ( p r e i − p r e j ) 2 − k } f[i]=\\min\\{f[j]+(pre_i-pre_j)^2-k\\} f[i]=min{f[j]+(prei​−prej​)2−k}

$$2\ast pr{e}_i\ast pr{e}_j+f[i]+k-pr{e}_i^2=f[j]+pr{e}_j^2$$

斜率优化可以做到$O(n)$

加上带权二分,总体复杂度$O(nlog(n))$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn =3e3+10;
int n,m,f[maxn],pre[maxn],a[maxn],line[maxn];
int head = 1, tail = 0, q[maxn];
int x(int i){ return pre[i]; }
int y(int i){ return f[i]+pre[i]*pre[i]; }
double slove(int i,int j)
{
	return ( 1.0*y(i)-y(j) )/( 1.0*x(i)-x(j) );
}
int isok(int k)
{
	head = 1, tail = 0, q[++tail] = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		while( head+1<=tail && slove(q[head],q[head+1])<2*pre[i] )	head++;
		int las = q[head];
		f[i] = f[las] +( pre[i]-pre[las] )[SDOI2016]征途

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