2019牛客国庆集训派对day2 J.Vertex Cover(思维,组合数学算贡献)

Posted 2021-05-18 issue是fw

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从序号最大的点开始考虑

考虑$(i,j)$(其中$i<j$)这条边,选和不选的方案数放在$i$点考虑

这样可以做到不重不漏

设$p$表示权值大于$i$且被选择的点数,$q$表示权值大于$i$且没被选择的点数

①.若点$i$被选择(只考虑$(i,j)$边,其中$i<j$)

那么至少存在一个代价更大且没被选择的点和$i$相连

如果不是这样,完全可以不选$i$而把其他小于$i$的点全选上,更优

如果是这样,那么可以保证$i$会被选择

方案数是$(2^q-1)\ast 2^p$

②.若点$i$没有被选择(只考虑$(i,j)$边,其中$i<j$)

显然$i$不可能和其他代价更大且没有被选择的点相连

显然$i$可能和所有代价更大且被选择的点相连

这样最优,方案数是$2^q$

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累乘即是答案

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn = 1e6+10;
const int mod = 1e9+7;
int base[maxn],n;
char a[maxn];
signed main()
{
	base[0] = 1;
	for(int i=1;i<=1000000;i++)	base[i] = base[i-1]*2%mod; 
	while( cin >> n >> ( a+1 ) )
	{
		int p = 0  , q = 0 , ans = 1;//被选择的点,没有被选择的点 
		reverse( a+1,a+1+strlen(a+1) );
		for(int i=strlen(a+1)+1;i<=n;i++)	a[i] = '0';
		for(int i=n;i>=1;i--)
		{
			if( a[i]=='0' )//不被选择
				ans = ans*base[p]%mod,q++;
			else 
				ans = ans*( base[q]-1 )%mod*base[p]%mod,p++;
		}
		cout << (ans%mod+mod)%mod << endl;
	}
}