（ICPC）亚洲区域赛（济南） L.Bit Sequence(数位dp,压缩状态)

Posted 2021-05-18 issue是fw

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乍一看觉得非常不可做,因为似乎找不到什么比较小的状态能判断是否满足条件

如果能找到这样的状态就简单了,在递归出口写个判断函数返回即可

观察到我们需要对$i\in [0,m)$判断$f(x+i)==a_i$

$x+i$会不断进位,一旦进位就没完没了了

但是$m<=100$,也就是最多影响$x$的后$7$位二进制

换句话说,对于任意的$i\in [0,m)$,无法就两种情况

Ⅰ.不进位

我们当前枚举的数$x$的低$7$位加上$i$仍然小于等于$127$

那么此时只需要保存$x$低$7$位的状态和高于$7$位的二进制$1$个数即可

Ⅱ.进位

我们当前枚举的数$x$的低$7$位加上$i$大于$127$

此时会进位,但是我们惊喜的发现就算进位也只会进$1$位

所以只会影响到低$7$位之后的连续二进制$1$

那么此时只需要保存$x$低$7$位的状态和高于$7$位的二进制$1$个数和低$7$位之后的连续二进制$1$个数

所以我们得到定义

$f[i][j][0/1][0/1][0/1]$表示枚举到二进制第$i$位,当低$7$位的数是$j$,且当前已经连续了偶/奇个$1$,总共有偶/奇数个$1$,是否卡上界

(注:代码的状态可能和上面的定义顺序有区别)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int t,n,m,L,a[70],M[1009];
int f[129][70][2][2][2],b[2009];
//f[i][j][k][l]枚举到第i位,后六位状态为j,从第7位开始连续了奇/偶个一 
int isok(int sta,int one,int jo)
{
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		int x = i+sta, ans = jo;//ans表示一开始的奇偶性 
		if( x<=127 )	ans ^= ( b[x]&1 );
		else
		{
			ans = ans^( b[x-128]&1 );
			if( one==0 )	ans ^= 1;	
		}
		if( ans!=M[i] )	return 0;
	}
	return 1;
}
int dfs(int l,int sta,int one,int jo,int lim)
{
	if( f[sta][l][one][jo][lim]!=-1 )	return f[sta][l][one][jo][lim];
	if( !l )	return f[sta][l][one][jo][lim] = isok(sta,one,jo);
	int ed = lim?a[l]:1, ans = 0;
	for(int i=0;i<=ed;i++)
	{
		if( l<=7 )	ans += dfs(l-1,(sta*2+i)&127,one,jo,lim&&(i==a[l]) );
		else
		{
			if( i )
				ans += dfs(l-1,(sta*2+i)&127,one^1,jo^1,lim&&(i==a[l]) );
			else
				ans += dfs(l-1,(sta*2+i)&127,0,jo,lim&&(i==a[l]) );
		}
	}
	return f[sta][l][one][jo][lim] = ans;
}
int solve(int x)
{
	a[0] = 0;
	while( x ){ a[++a[0]]=x&1; x>>=1; }
	memset( f,-1,sizeof f );
	return dfs( a[0],0,0,0,1 );
}
signed main()
{
	for(int i=1;i<=2000;i++)	b[i] = b[i>>1]+(i&1);
	cin >> t;
	while( t-- )
	{
		cin >> m >> L;
		for(int i=0;i<m;i++)	cin >> M[i];
		cout << solve(L) << endl;
	}
}

然后开始想的是直接固定低$7$位,然后$dfs$到低$7$位直接返回判断

其实也是一样的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int t,n,m,L,a[70],M[1009];
int f[129][70][2][2][2],b[2009];
//f[i][j][k][l]枚举到第i位,后六位状态为j,从第7位开始连续了奇/偶个一 
int isok(int sta,int one,int jo)
{
	for(int i=0;i<m;i++)
	{
		int x = i+sta, ans = jo;//ans表示一开始的奇偶性 
		if( x<=127 )	ans ^= ( b[x]&1 );
		else
		{
			ans = ans^( b[x-128]&1 );
			if( one==0 )	ans ^= 1;	
		}
		if( ans!=M[i] )	return 0;
	}
	return 1;
}
int dfs(int l,int sta,int one,int jo,int lim)
{
	if( f[sta][l][one][jo][lim]!=-1 )	return f[sta][l][one][jo][lim];
	if( l==7 )
	{
		if( (L&127)<sta && lim )	return 0;
		else	return isok(sta,one,jo);
	}
	int ed = lim?a[l]:1, ans = 0;
	for(int i=0;i<=ed;i++)
	{
		if( i )	ans += dfs(l-1,sta,one^1,jo^1,lim&&(i==a[l]) );
		else	ans += dfs(l-1,sta,0,jo,lim&&(i==a[l]) );
	}
	return f[sta][l][one][jo][lim] = ans;
}
int solve(int x)
{
	a[0] = 0;
	while( x ){ a[++a[0]]=x&1; x>>=1; }
	int ans = 0;
	for(int i=0;i<128;i++)
	{
		memset( f[i],-1,sizeof f[i] );
		int temp = 0;
		temp  += dfs( a[0],i,0,0,1 );	
		ans += temp;
	}
	return ans;
}
signed main()
{
	for(int i=1;i<=2000;i++)	b[i] = b[i>>1]+(i&1);
	cin >> t;
	while( t-- )
	{
		cin >> m >> L;
		for(int i=0;i<m;i++)	cin >> M[i];
		if( L<=127 )
		{
			int ans = 0;
			for(int i=0;i<=L;i++)	ans += isok(i,0,0);
			cout << ans << endl;
		}
		else	cout << solve( L ) << endl;
	}
}