[数论] 质数

Posted 2021-05-18 zero_orez6

定义

在大于1的自然数中，若一个数的因数只有1和他本身，那么这个数被称为质数/素数，否则为合数。
注意，1既不是质数，也不是合数。

证明

那么如何证明一个正整数是不是质数呢(⊙o⊙)？

想必很多同学想到从2枚举到$n-1$,若其中有$n$的因数，$n$就是合数，否则为质数

bool pd(int n)
{
	for(int i=2;i<n;i++)
	{
		if(n%i==0) return 0;
	}
	return 1;
}

这样的话复杂度较高，为$O(n)$。大家可以仔细思考一下，

若$n=x\ast y$的一个因数x小于$\sqrt{n}$,那么 $y$ 一定大于 $\sqrt{n}$,

所以我们可以对上面的代码进行修改。

bool pd(int n)
{
	for(int i=2;i<=sqrt(n);i++)
	{
		if(n%i==0) return 0;
	}
	return 1;
}

筛法求质数

埃式筛

一般情况下，可以先用较为简单的方法将$[1,n]$的所有质数求出，在调用时即可$O(1)$复杂度求出。

那么如何将$[1,n]$的质数快捷求出？可以直接遍历$[1,n]$判断是否为质数，复杂度为$O(n\ast \sqrt{n})$。

但是再思考一下质数的性质，在后面的数中，有不少的数是之前质数的倍数，在判断出一个数是质数时，即可将它所有$<=n$的倍数标记为非质数。

以上便是埃氏筛的思想，代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool f[100086];
bool pd(int x)
{
	for(int i=2;i<=sqrt(x);i++)
	{
		if(x%i==0) return 0;
	}
	return 1;
}
int main()
{
	memset(f,1,sizeof(f));
	int n,q;
	cin>>n>>q;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(pd(i)==1)
		{
			for(int j=2*i;j<=n;j+=i)
			{
				f[j]=0;
			}
		}
	}
	while(q--)
	{
		int x;
		cin>>x;
		if(f[x]==0) cout<<"NO"<<endl;
		else cout<<"YES"<<endl;
	}
	return 0;
 } 

线性筛

即使在优化后，埃式筛仍然会重复标记一些合数，例如对于合数$30$，质数$2,3,5$都会重复标记，所以我们应找出某种方法能够唯一的产生30。

线性筛因此产生，它通过“从大到小累计质因子”来标记每个合数，
设用数组v来记录每个数的最小质因子，按下列步骤来维护数组v
1.从$2n$循环每一个数$i$。
2.若$v[i]=i$，则$i$为质数，将它保存下来。
3.扫描不大于i的每个质数$p$,令$v[i\ast p]=p$,因为$p<=i$，所以$p$为$i\ast p$的最小质因子。
每个合数只会被它的最小质因子筛一次，时间复杂度为$O(n)$

int v[10086],prime[10086];
void primes(int n)
{
	memset(v,0,sizeof(v));
	int m=0;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(v[i]==0) 
		{
			v[i]=i;
			prime[++m]=i;
		}
		for(int j=1;j<=m;j++)
		{
			if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i) brreak;
			v[i*prime[j]]=prime[j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		cout<<prime[i]<<endl;
	}
}