[数论]扩展中国剩余定理（EX-CRT）

Posted 2021-05-18 zero_orez6

前言

CRT和EX-CRT目的都是为了解决同余的问题，但他们在方法上有着本质的区别，这篇文章主要用数学归纳法来证明EX-CRT。

问题

给你$n$个$a,m$,需要你求出最小的x满足下面的同余式

$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x\equiv a_2(mod{m}_2)\\ ......\\ x\equiv a_n(mod{m}_n)\end{array}$

证明过程

我们先看前两个式子

$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x\equiv a_2(mod{m}_2)\end{array}$

由上面两个式子我们可得

$x=k_1\ast m_1+a_1$(以下所有$k$皆为常数)
$x=k_2\ast m_2+a_2$

联立上面两个式子可得

$k_1\ast m_1+a_1=k_2\ast m_2+a_2$

移项得：

$k_1\ast m_1-k_2\ast m_2=a_2-a_1$

仔细观察以上式子，大家有没有联想到什么呢

是不是很像扩欧的式子$a\ast x+b\ast y=c$。

（不清楚扩欧的可以点这里)

所以我们可以用扩欧求出$k_1$,再用$k_1$求出式子的特解$x_0$.

$x=x_0+lcm(m_1,m_2)\ast k$

$\therefore x\equiv x_0(modlcm(m_1,m_2)$

再将上面的同余式与第三个同余式及以下同余式合并，求出最小非负整数$x$.

注意

$1.$虽然EX-CRT本身无法判断是否有解，但在用扩欧求出常数$k$时，对于式子$a\ast x+b\ast y=c$,只有当$gcd(a,b)$能够整除$c$时，此式子才有解。

$2.$注意处理负数$(x$%$m+m)$%$m$。

例题

这个博主太懒了，待他整理整理再放。