[数论]中国剩余定理

Posted 2021-05-18 zero_orez6

线性同余方程

给定三个整数$a,b,m$，求一个整数$x$使得$a\ast x\equiv b(modm)$(有可能无解)，其中未知数指数为1，则称此同余式为一次同余方程或线性同余方程

$\because a\ast x\equiv b(modm)$

$\therefore a\ast m-b是m的倍数$，设为$-y$倍。

原式得：$a\ast m+m\ast y=b$。

由扩欧得，此方程当且当$gcd(a,m)|b$时有解。

当有解时，用欧几里德算法求出一组解$x_0,y_0$,满足$a\ast x_0+m\ast y_0=gcd(a,m)$时，$x=x_0\ast b/gcd(a,m)$,可求出一组特解

方程的特解就是所有模数$m/gcd(a,m)$与$x$同余的整数解

题目

给出你n个同余式，求解一个x满足一下同余式。

$\{\begin{array}{l}x\equiv a_1(mod{m}_1)\\ x\equiv a_2(mod{m}_2)\\ ......\\ x\equiv a_n(mod{m}_n)\end{array}$

其中$m_1,m_2...m_n$为两两互质的整数。

方法

设$m={\prod }_{i=1}^n{m}_i$,$M_i=m/m_i$,是除$m_i$以外所有模数的倍数，$t_i$是同余方程$M_i{t}_i\equiv 1(mod{m}_i)$,

所以对于所有不等于$i$的常数$k$, $a_i{M}_i{t}_i\equiv 0(mod{m}_k)$,代入$x={\sum }_{i=1}^n{a}_i{M}_i{t}_i$。

附言

以上便是模数两两互质的线性同余方程的一组特解，通解可表示为$x+k\ast m(k\in Z)$,在题目要求我们求出最小解时,$(x+m)$%$m$.

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中国剩余定理都学了，不来学学扩中吗