给n，求n/1+n/2+n/3+....+n/n的值

Posted 2021-05-18 yueshehanjiang

给n，求n/1+n/2+n/3+…+n/n的值
首先，n最大范围1e9，暴力肯定超时
那么先看一段代码

#include<bits/stdc++.h>
#define fer(i,a,b) for(re i = a ; i <= b ; ++ i)
#define re register int
typedef long long ll ;
using namespace std;
const int N =  1e6 + 10 , M = 1010 , inf = 0x3f3f3f3f , mod = 1e9 + 7 ;

int main()
{
    int n ;
    cin >> n ;
    for(int l = 1 , r ; l <= n ; l = r + 1)
    {
        r = n / (n / l) ;
        printf("%d %d %d\\n",n/l,l,r) ;
    }
    return 0;
}

我们输入100 可以得到的结果是
n / l l r
100 1 1
50 2 2
33 3 3
25 4 4
20 5 5
16 6 6
14 7 7
12 8 8
11 9 9
10 10 10
9 11 11
8 12 12
7 13 14
6 15 16
5 17 20
4 21 25
3 26 33
2 34 50
1 51 100
那么，很明显从51到100中的数，除n都等于1
从34到50中的数，除n都等于2
以此类推从l到r中的数，除n都等于n/l
那么每次给出左端点，如何求右端点
考虑一下假设左端点为l
那么 n / （n / l ） 是不是就是右端点
因为c++默认下取整
在算出当前区间的左右端点的情况下
下一个区间的左端点就是上一个区间的右端点+1
那么答案就是(r - l + 1) * (n / l )
时间复杂度分析

#include<bits/stdc++.h>
#define fer(i,a,b) for(re i = a ; i <= b ; ++ i)
#define re register int
typedef long long ll ;
using namespace std;
const int N =  1e6 + 10 , M = 1010 , inf = 0x3f3f3f3f , mod = 1e9 + 7 ;

int main()
{
    int n ;
    cin >> n ;
    int cnt = 0 ;
    for(int l = 1 , r ; l <= n ; l = r + 1)
    {
        r = n / (n / l) ;
        cnt ++ ;
    }
    cout << cnt << endl;
    return 0;
}

我们分别输入100 10000 1000000 100000000
可以得到结果是 19 199 1999 19999
因此时间复杂度为 2sqrt(n)

最后ac代码

#include<bits/stdc++.h>
#define fer(i,a,b) for(re i = a ; i <= b ; ++ i)
#define re register int
typedef long long ll ;
using namespace std;
const int N =  1e6 + 10 , M = 1010 , inf = 0x3f3f3f3f , mod = 1e9 + 7 ;

int main()
{
    int t ;
    cin >> t ;
    while(t--)
    {
	    int n ;
	    cin >> n ;
	    ll res = 0 ;
	    for(int l = 1 , r ; l <= n ; l = r + 1)
	    {
	        r = n / (n / l) ;
	        res += (r - l + 1 ) * (n / l );
	    }
	    cout << res << endl;
    }
    return 0;
}