夜深人静写算法（三十）- 二分快速幂

Posted 2021-05-18 英雄哪里出来

文章目录

• 一、前言
• 二、模幂运算
• • 1、朴素算法
  • 2、循环节
• 三、二分快速幂
• • 1、递归实现
  • 2、二进制优化实现
• 四、模数为 64 位整数
• 五、时间复杂度总结
• 六、二分快速幂相关题集整理

一、前言

  刷题的时候遇到不会的数论题，真的是很揪心，从头学起吧，内容实在是太多了，每个知识点都要证明吃透，不然下次遇到还是不会；不学吧，又不甘心，就是单纯的想把这个题过了，真是进退两难！
  如果你也和我有一样的困扰，那接下来就让我们一起来专攻一下数论的知识吧！额 … … 介于明天又要上班，就先来个基础的数论算法吧。二分快速幂，就当开胃菜了，适当也要劳逸结合不是嘛！

二、模幂运算

【例题一】已知三个正整数$a,b,c(a,b,c<=10^5)$，求：$$f(a,b,c)=a^{b}modc$$

• 这里求 $a$ 的 $b$ 次幂(次方)对 $c$ 取余数的计算，被称为模幂运算，本文会针对以上的式子，根据数据范围提供完全不同的算法来进行讲解，确保正确性的前提下，以求达到时间和空间的平衡；
• 高端的算法往往只需要采用最朴素的诠释方式。

1、朴素算法

1）枚举

• 直接一个 $b$ 次的循环，枚举对 $a$ 的 $b$ 次乘法：
  图二-1-1
• 最后进行取模运算（c++中的 ‘%’ 符号等价于数学中的取模 $mod$）；
• c++代码实现如下：

int f(int a, int b, int c) {
    int ans = 1;
    while(b--)
        ans = ans * a;
    return ans % c;
}

• 这段代码有没有问题呢？我们来尝试用一些数据测试一下：

$f(3,5,7)=5$
$f(3,10,7)=4$
$f(3,100,7)=-2$
$f(3,1000000000,7)=...$

• 1、溢出问题：首先，在数据量比较大的时候，运算结果会出现负数，这是因为 $int$ 的取值范围是 $[-2^{31},2^{31})$，超过后就会溢出，结果就和预期的不符了；
  

  图二-1-2

• 2、时间复杂度：其次，这个算法的时间复杂度是 $O(b)$ 的，当 $b$ 很大的时候，明显是无法满足时间要求的，尤其是写服务器代码的时候，时间复杂度尤为重要，10个、100个、1000 个玩家出现这样的计算时，时间消耗都是成倍增长的，非常占用服务器 CPU 资源；

• 那么，我们先保证正确性，确保计算过程中不会溢出，这里就需要用到数论里面一些简单的知识：模乘。

2）模乘

• 模乘满足如下公式：
  $$abmodc=(amodc)(bmodc)modc$$
• 证明如下：
• 令 $a=r_a+m_{a}c$，$b=r_b+m_{b}c$, 其中 $(0<=r_a,r_b<c)$，将乘法代入原式，得到：
  $$\begin{array}{rl}abmodc& =(r_a+m_{a}c)(r_b+m_{b}c)modc\\ & =(r_a{r}_b+r_a{m}_{b}c+m_a{r}_{b}c+m_a{m}_b{c}^2)modc\\ & =r_a{r}_{b}modc\\ & =(amodc)(bmodc)modc\end{array}$$
• 所以我们可以对朴素算法进行一些改进，改进如下：

int f(int a, int b, int c) {
    int ans = 1 % c;
    while(b--)
        ans = ans * a % c;
    return ans;
}

• 利用模乘运算，可以先模再乘，每次运算完毕确保数字是小于模数的，这样确保数字不会太大而造成溢出，但是这里没有考虑一种情况，就是 $a$ 有可能是负数；

3）负数考虑

• 需要再进行一次改进，改进版如下：

int f(int a, int b, int c) {
    a = (a % c + c) % c;
    int ans = 1 % c;
    while(b--)
        ans = ans * a % c;
    return ans;
}

• 我们发现只需要多加一句话：
  图二-1-3
• $a\%c$ 是为了确保模完以后 $a$ 的绝对值小于 $c$，如图二-1-3所示；
  图二-1-4
• 再加上 $c$ 是为了保证结果是正数，如图二-1-4所示；
  图二-1-5
• 最后又模上 $c$ 是为了确保 $a$ 是正数的情况也能准确让结果落在 $[0,c)$ 的范围内，如图二-1-5所示；
• 这样改完还有哪些问题呢？？？
• 1、溢出问题：溢出问题仍然存在，只要 $c$ 的范围是 $[-2^{31},2^{31})$，$ans$ 和 $a$ 的范围就在 $[0,c)$，$ans\ast a$ 的范围就是 $[0,c^2)$，最坏情况就是 [ 0 , 2 62 ) [0, 2^{62}) 《夜深人静写算法》数论篇 - (13) 二分快速幂

  《夜深人静写算法》数论篇 - (13) 二分快速幂

  《夜深人静写算法》数论篇 - (16) 费马小定理

  夜深人静写算法（三十一）- 欧拉函数

  夜深人静写算法（三十四）- 逆元

  夜深人静写算法（三十三）- 扩展欧拉定理