最优化--牛顿法求解多元函数极值例题（python）

Posted 2021-05-18 jtwty

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• • 一.问题
  • 二.python代码
  • 三.结果

一.问题

给定一个函数f(x)=60-10x₁-4x₂+x₁²+x₂²-x₁x₂，利用牛顿法求解该函数的最小值，需给出中间结果。

二.python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

#牛顿法求解f = 60-10*x1-4*x2+x1**2+2*x2**2-x1*x2的极值
#原函数
#建立点的列表并关联起来
X1=np.arange(-50,50,0.1)
X2=np.arange(-50,50,0.1)
[x1,x2]=np.meshgrid(X1,X2)
f = 60-10*x1-4*x2+x1**2+2*x2**2-x1*x2
plt.contour(x1,x2,f,20) # 画出函数的20条轮廓线

#求梯度
def jacobian(x):
    return np.array([-10+2*x[0]-x[1],-4+2*x[1]-x[0]])

#求海森矩阵
def hessian(x):
    return np.array([[2,-1],[-1,2]])

#牛顿法程序
def newton(x0):
    W=np.zeros((2,10**2))
    i = 1
    imax = 100
    W[:,0] = x0 
    x = x0
    delta = 1
    alpha = 1
    
    #迭代条件，当迭代次数不少于100次并且精度大于0.1时进行循环
    while i<imax and delta>0.1:
        #将海森矩阵的逆与梯度相乘
        p = -np.dot(np.linalg.inv(hessian(x)),jacobian(x))
        x0 = x
        x = x + alpha*p
        W[:,i] = x
        delta = sum((x-x0))
        print('第',i,'次迭代结果:')
        print(x,'\\n')
        i=i+1
    W=W[:,0:i]  # 记录迭代点
    return W

#初始点
x0 = np.array([-40,40])
W = newton(x0)
    
plt.plot(W[0,:],W[1,:],'g*',W[0,:],W[1,:]) # 画出迭代点收敛的轨迹
plt.show()

三.结果