原根（模板+证明）

Posted 2021-05-17 H-w-H

• 原根
• • 定义:
  • 原根判定定理
  • 原根的个数
  • 原根的存在定理
  • 题目：

原根

定义:

设$m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$,$a\in \mathbb{Z}$.若$(a,m)=1$,且${\delta }_m(a)=\varphi (m)$,则称$a$为模$m$的原根（注：$a，m$互质）.

原根判定定理

若$g$是模$m$的一个原根,则对于$\varphi (m)$的任何大于$1$且不为自身的因数$p$,都有$g^{\frac{\varphi (m)}{p}}\equiv 1(modm)$.

证明:

假设存在一个$t<\mu (m)$使得$a^t\equiv 1(modm)$且$\forall i\in [1,k]:a^{\frac{\varphi (m)}{d_i}}\equiv 1(modm)$.

由裴蜀定理得，一定存在一组$k，x$满足$kt=x\varphi (m)+(t,\mu (m))$; 由欧拉定理$/$费马小定理得$a^{\varphi (p)}\equiv 1(modp)$;

$\therefore 1\equiv a^{kt}\equiv a^{x\varphi (m)}{a}^{(t,\varphi (m))}\equiv a^{(t,\varphi (m))}(modm)$

$\because t<\varphi (m)\therefore (t,\varphi (m))\le t<\varphi (m)$

$\because (t,\varphi (m))|\varphi (m)，\therefore (t,\varphi (m))一定至少整除\frac{\varphi (m)}{d_i}中的至少一个$。

设$(t,\varphi (m))|\frac{\varphi (m)}{d_i}$,则$a^{\frac{\varphi (m)}{d_i}}\equiv a^{(t,\varphi (m))}\equiv 1(modm)$。

$\therefore$ 假设不成立，原命题成立

原根的个数

如果一个数$m$有原根$g$，则它的原根个数为$\varphi (\varphi (m))$。

证明：

如果$m$存在原根$g$，则
$$\begin{gathered} {\delta }_m(g^k)=\frac{{\delta }_m(g)}{({\delta }_m(g),k)}(阶的性质) \\ if(k,{\delta }_m(g))=1且1<k<\varphi (m)的k有\varphi (\varphi (m))个。 \\ \therefore 原根有\varphi (\varphi (m))个。 \end{gathered}$$
在模$m$的情况下，原根一定是$\varphi (\varphi (m))$。

原根的存在定理

一个数m存在原根当且仅当$m=2，4，p^{\alpha }，2p^{\alpha }$，其中$p$为奇素数。$\alpha \in {\mathbb{N}}^{\ast }$。

证明：待补。

题目：

P6091 【模板】原根

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N = 1e6+10;
const int inf = 1e9+7;
ll phi[N], tot, p[N];
bool st[N];
bool check(int n) {//判断是否存在原根
    if(n == 2 || n == 4以上是关于原根（模板+证明）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 NTT小结及原根求法
 hdu 4992 Primitive Roots 求原根模板
 poj1284-Primitive Roots欧拉函数-奇素数的原根个数
 poj1284Primitive Roots 欧拉函数
 快速求原根的实现
 各种友(e)善(xin)数论总集（未完待续），从入门到绝望