Happy 2004(代码+积性函数扩展)

Posted 2021-05-17 H-w-H

• Happy_2004
• • 题意：
  • 思路（详细解释在扩展）：
  • $Code$：
  • 扩展（因子和，积性函数）
  • • $n$的全部因子之和是：
    • 积性函数$\sigma$

Happy_2004

题意：

求$2004^k$的全部因子的和，对$29$取模

思路（详细解释在扩展）：

积性函数，等比数列求和

$Code$：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e3+10;
const int inf = 0x7ffffff;
const int mod = 29;
ll qpow(ll x, ll y) {//快速幂
    ll ans = 1;
    while(y) {
        if(y & 1) ans = ans * x % mod;
        x = x * x % mod;
        y >>= 1;
    }
    return ans;
}
ll cal(ll p, ll cnt) {//等比数列求和
    if(cnt == 1) return p+1;
    if(cnt == 0) return 1;
    if(cnt % 2) {
        return cal(p, cnt/2)%mod *(qpow(p, cnt/2+1) + 1ll) % mod;
    }
    else {
        return (cal(p, cnt/2-1)%mod * (qpow(p, cnt/2+1) + 1ll) % mod + qpow(p, cnt/2)) % mod;
    }
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE 
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif  
    ll n;
    while(cin >> n, n)
    cout << cal(2ll, 2*n)*cal(3ll, n) % mod * cal(22ll, n) % mod << endl;
    return 0;
}

扩展（因子和，积性函数）

$n$的全部因子之和是：

$(1+p_1+p_1^2...+p_1^{q_1})\times (1+p_2+p_2^2...+p_2^{q_2})..\times (1+p_n+p_n^2...+p_n^{q_n})$

$={\prod }_{i=1}^n{\sum }_{j=0}^{p_i}{p}_i^j$

用分治(一般都会取模)。

举例(首项为1，公比为p，长度5+1)：

$$\begin{gathered} 1+p+p^2+p^3+p^4+p^5 \\ 1+p+p^2+p^3\times (1+p+p^2) \\ (1+p+p^2)\times (1+p^3) \end{gathered}$$

分治，范围变小

同理：首项为$p$或者其他。

上面的式子可以感性理解一下，对$n$进行质因子分解。对质因子$p_i$可以选择$[0,q_i]$次来组成某个因子。

积性函数$\sigma$

$\sigma :{\sigma }_k(n)={\sum }_{d|n}{d}^k$ 表示n的所有因数的k次方之和（注意不是和的k次方）。证明如下：

需要证明：${\sigma }_k(nm)={\sigma }_k(n)\times {\sigma }_k(m)(k>=0)$

设集合 N = { a i ∣ 1 ≤ i ≤ k } N=\\{a_i|1\\leq i \\leq k\\} N={ai​∣1≤i≤k} 为 n 的所有因子的集合，集合 M = { b j ∣ 1 ≤ j ≤ k ′ } M=\\{b_j|1\\leq j \\leq k'\\} M={bj​∣1≤j≤k′}的所有因子的集合。

$\because \gcd (n,m)=1$ $\therefore gcd(a_i,b_j)=1$

$\therefore$ N与 M的交集为空，即 $\forall i,HDU\; 1452\; Happy\; 2004(唯一分解定理)$

hdu 1425 Happy 2004

线性筛及其扩展-积性函数

Happy 2004 hdu1452

HDU 1452 Happy 2004 数论

引用向量的部分片段？