BSGS(扩展篇，思路+详解)

Posted 2021-05-17 H-w-H

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扩展篇

问题：

当$p，a$可能不互质时，求
$$a^x\equiv b(modp)$$

方法:

当$d_1=gcd(a,p)\ne 1$，当$d_1\nmid b$时，无解，则原式变成：
$$\frac{a}{d_1}{a}^{x-1}\equiv \frac{b}{d_1}(mod\frac{p}{d_1})$$
当设$d_2=gcd(a,\frac{p}{d_1})\ne 1$，当$d_2\nmid \frac{b}{d_1}$时，无解，则原式可变成：
$$\frac{a^2}{d_1{d}_2}{a}^{x-2}\equiv \frac{b}{d_1{d}_2}(mod\frac{p}{d_1{d}_2})$$
重复直到$d_{cnt}=1$。设$D={\prod }_{i=1}^{cnt}{d}_i$，原式可以写成：
$$\frac{a^{cnt}}{D}{a}^{x-cnt}\equiv \frac{b}{D}(mod\frac{p}{D})$$
剩下的$a^{x-cnt},\frac{b}{D},\frac{p}{D}$，可以构成基础篇的$bsgs$，修改的地方就是乘了一个系数$\frac{a^{cnt}}{D}$。

注意：$cnt$可能大于x这个解，所以我们在做除法的时候就要判断是不是能够相等，相等直接输出当前的$cnt$。

题目：

P4195 【模板】扩展BSGS

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll qpow(ll x, ll y, ll mod) {
    ll ans = 1;
    while(y) {
        if(y & 1) ans = ans * x % mod;
        x = x * x % mod;
        y >>= 1;
    }
    return ans;
}
unordered_map<ll, ll> mp;
ll bsgs(ll a, ll b, ll p, ll ad) {
    if(a % p == 0 && b%p != 0) return -1;
    mp.clear();
    int k = ceil(sqrt(p));
    for(int i=0; i<k; i++) {
        mp[b] = i;
        b = b * a % p;
    }
    ll aa = qpow(a, k, p), A = aa*ad % p;
    for(int i=1; i<=k; i++) {
        if(mp[A]) return 1ll*i*k - mp[A];
        A = A * aa % p;
    }
    return -1;
}
ll exgcd(ll &x, ll &y, ll a, ll b) {
    if(b == 0) {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    ll d = exgcd(x, y, b, a%b);
    ll tmp = y;
    y = x - a/b * y;
    x = tmp;
    return d;
}
ll inv(ll a, ll b) {
    ll x, y;
    ll d = exgcd(x, y, a, b);
    return x;
}

ll exbsgs(ll a, ll b, ll p) {
    a %= p, b %= p;
    if(b == 1 || p == 1) return 0;
    ll cnt = 0, d, tmp = 1;
    while((d = __gcd(a, p)) ^ 1) {
        if(b % d) return -1;
        cnt++, b /= d, p /= d;
        tmp = tmp * a/d % p;
        if(tmp == b) return cnt;
    }
    ll ans = bsgs(a, b, p, tmp);
    if(ans == -1) return -1;
    else return ans + cnt;
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    freopen("out.txt", "w", stdout);
#endif
    ll a, p, b, d;
    while(cin >> a >> p >> b) {
        if(!a || !p || !b) break;
        ll ans = exbsgs(a, b, p);
        if(ans != -1) cout << ans << endl;
        else cout << "No Solution\\n";
    }
    return 0;
}