欧几里得以及扩展欧几里得

Posted 2021-05-16 ｡✧* ꧁王者꧂✧*

欧几里得算法

**gcd(a,b)=gcd(b,a%b) ** 。

这个可以这么来证：

设e=gcd(a,b)，a=k1 * e,b=k2 * e。

我们首先来证明：gcd（a,b）=gcd(b,a-b)。

a-b=(k1 - k2) * e，b=k2 * e。如果能证明 k2 与 k1-k2互质，那么 a-b便与b互质。

我们可以用假设法来证明：

因为 k1 与 k2 互质，所以 gcd(k1 , k2)=1。

假设k2 与 k1 - k2不互质,那么 ，k1= k2 + (k1 - k2)。

因为gcd(k2 , k1-k2 )！=1,

所以 ，我们可以得出 ，gcd(k2 + (k1-k2), k2)！=1。

这与条件不符。

所以： gcd(a,b)=gcd(a-b)。

而gcd(a%b)等价于gcd(a- k * b)，

因此gcd(a,b)==gcd(b,a%b)成立

扩展欧几里得

首先，解释一下bezout算法：（也称裴蜀定理）

一定存在x,y,使ax+by=gcd(a,b);

证明如下：

我们可以设 ax + by 的最小正整数为s，d=gcd(a,b)。

因为 d| a&& d|b ,所以 d| ax+by。所以 d | s。所以 d<=s。

*** 设q = a/s ，r = a%s = a-q * s = a - q * (ax + by) = a * (1- qx) -b * qy ***

由此可以看出，r 也是关于 a和 b的线性方程的一个值。又因 r>=0&&r<s，且s为 ax+by的最小解，所以r=0。

所以，s|a,同理，我们也可以得出 s|b。

所以，s是a,b的一个公因数。所以s<=d。

因为s<=d&&d<=s,所以s=d。所以 ax+ by的最小正整数解一定为gcd(a,b)。一定可以找到一组整数解，使得ax+by=gcd(a,b)。

最重要的是如何来求x与y。

我们可以设一对 xx与yy,使 b * xx + (a%b) * yy==gcd(b,a%b)

又因上述可知，gcd(a,b)=gcd(b,a%b),

所以 b * xx+(a%b) * yy==gcd(a,b)

根据取模的定义可知：

(a%b)=a-a/b * b，

所以：

b * xx+(a-a/b * b) * yy ==gcd(a,b),

那么：a * yy+b * (xx-a/b * yy)==gcd(a,b)

那么将其转化为 ax+by=gcd(a,b)的形式，x=yy,y=xx-(a/b)*yy,得出这个式子，我们就可以在求gcd的基础上求出一组x,y的特解x0,y0（因为满足这种形式的有无数组），具体代码如下：

ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
	if(b==0) { x=1,y=0;return a;}
	ll d=exgcd(b,a%b,x,y);
	int z=x;
	x=y,y=z-y*(a/b);
	return d;
}

既然我们会求ax+by=gcd(a,b)了，那试想，若题目给出ax+by=c的形式，让我们求解满足的x,y的正整数解（若无，输出-1），这时我们该怎么办呢。。。

若 gcd(a,b) | c， ，设d=c/gcd(a,b),那么得到一组ax+by=gcd(a,b)的解，再使这组解乘上d，不就是满足ax+by的一组解了吗（多理解一下会更好）。

若 gcd(a,b) | c不成立呢，那么我们就找不到一组 正整数解，使原方程成立，因为ax+by的结果一定是gcd(a,b)乘上一个整数 ，所以若gcd(a,b) | c不成立，就得不到一组满足题目条件的整数解。

（qwq…,打的很心累啊，给个五星好评吧 球球了~~~）

在做题时，我们经常会遇到让你求x的最小非负整数解的类似题目，那么，如何求解最小非负整数解呢？？？

我们知道，满足ax+by=c的x,y有多组正整数解，那么，x 与 y 可不可以用集合来表示呢？

我们若用辗转相除法，只能得到一组特解，但这并不一定是最小的整数解。

那么，我们可以想象，若在ax+by=c中，使x加上一个数t，y减去一个数q，且仍使原式成立，

，那么t与q是什么呢？

设xo与yo属于ax+by=gcd(a,b)的解的集合，

我们设d=c/gcd(a,b)。

所以ax+by=c中: x=d * xo , y=d * yo，

那么，若x加上k * b/d, y减上k * a/d ,这样的话，对于原式的成立无影响，我们也可以通过这个式子，求出所有的符合原式的解。

那么：ax+by=c中,x与y的通解也就有了： **x=d * xo + k * b/d ***,y=d * yo - k * b/d

若要求最小正整数解

给出一行代码：

x=【(c*xo/d)%(b/d)+(b/d)】%【b/d】

可能理解有些困难。

为了防止我们求得的x的最小非负整数解是负数，此处加上一个(b/d)再mod一下(b/d)，以保证结果为非负数。

推荐一道题：青蛙的约会（模板题）

上代码！！！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll q11,q22,x,y,m,n,b,a,d;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)//辗转相除求x与y的一组特解
{
	if(b==0) { x=1,y=0;return a;}
	int qwq=exgcd(b,a%b,x,y);
	int z=x;
	x=y,y=z-a/b*y;
	return qwq;
}
int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&q11,&q22,&m,&n,&b);
	a=n-m;
	d=q11-q22;
	ll ms=exgcd(a,b,x,y);
	if(d%ms)//判断ax+by是否能等于q11-q22
	{
		printf("Impossible");
		return 0;
	}
	ll kk=b/ms;
	printf("%lld",(d*x/ms%kk+kk)%kk);//x与y的最小非负整数解
	return 0;
}