C - Floor and Mod（整除分块，数学）

Posted 2021-05-16 zjj0624

题意
有t组数据，每组数据输入x，y，求出所有满足条件的a，b，$a$ $mod$ $b=\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$.
$1<=a<=x,1<=b<=y$。
思路
我们看到$a$ $mod$ $b=\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$.这个公式，肯定想着进行化简。
$a-b\ast \lfloor \frac{a}{b}\rfloor =\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$
$\frac{a}{b+1}=\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$。
我当时化简到这里的时候就没有思路了。
然后我就打表找规律。
把a和b都全部枚举一遍，然后看结果找规律。
能找到一个规律就是 a%（b+1）=0;
也就是 a=（b+1）k.
但是我没有看出k的最大值是（b-1）.
看了别人的题解才知道。
分析到这里，我们可以枚举每一个b，找到能选的a的值。
能选的a的值个数就是b-1和$\lfloor \frac{x}{b+1}\rfloor$的最小值。
这样的复杂度是o(ty),是会超时的，还需要继续优化。
当（b+1）（b-1）<=x的时候很简单，每次可以选的就是b-1个。
我们可以从1枚举到y，来找到临界值，也就是第一个（b+1） （b-1）>x的maxb，这样枚举的复杂度最多是sqrt(x)，所以是可以枚举找到的。
当（b-1）*（b+1）>x的时候a的个数都是$\lfloor \frac{x}{b+1}\rfloor$.
这个部分如果从[maxb,y]进行枚举的时候是会超时的，所以我们还需要进行优化。
我们知道$\lfloor \frac{x}{b+1}\rfloor$.b取不同连续的值的时候，$\lfloor \frac{x}{b+1}\rfloor$.的结果是相同的。
这个时候就可以用到整除分块来优化了。
最终的时间复杂度是o（t ×log(y)）。
代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define me memset
const int N = 1e6;
const int mod = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
using namespace std;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
int main()
{
    int c;
    cin>>c;
    while(c--)
    {
        int x,y;
        cin>>x>>y;
        int maxb=1e9+10;
        ll ans=0;
        for(int i=1 ; i<=y ; i++)  //求出第一个（b+1）*(b-1)>x的值。
        {
            if((i-1)*(i+1)<=x) ans+=i-1;
            else
            {
                maxb=i;
                break;
            }
        }
        for(int i=maxb,nxt=0 ; i<=y ; i=nxt+1)
        {
            int t=x/(i+1);
            if(t==0) break;
            nxt=min(x/t-1,y);
            ans+=1ll*(nxt-i+1)*t;
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

总结
把这场CF补完。
把树形DP学懂
复习一下整除分块
自己应该多写一些1600~1800的数学题。
https://codeforces.com/problemset?order=BY_RATING_ASC&tags=math%2C1400-1800