数据结构与算法--二叉树

Posted 2021-05-16 南岸青栀*

文章目录

• • 树的概念
  • • 特点：
    • 树的基本术语：
    • 树的种类
    • 树的应用场景
  • 二叉树的基本概念
  • • 二叉树的性质
  • 二叉树的实现
  • • 节点的定义
    • 增加节点
    • 广度优先遍历
    • 前序遍历
    • 中序遍历
    • 后序遍历

树的概念

树(英语: tree) 是一种抽象数据类型(ADT)或是实作这种抽象数据类型的数据结构，用来模拟具有树状结构性质的数据集合。它是由n (n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下。

特点：

• （1）每个节点有零个或多个子节点
• （2）没有父节点的节点称为根节点
• （3）每个非根节点有且仅有一个父节点
• （4）除根节点，每个子节点可以分为多个不相交的子树

树的基本术语：

• （1）节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度
• （2）树的度：一棵树中，最大的节点的度称为数的度
• （3）叶节点或终端节点：度为0的节点
• （4）父亲节点或父节点:若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点;
• （5）孩子节点（子节点）：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点。
• （6）兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;
• （7）节点的层次:从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推;
• （8）树的高度或深度:树中节点的最大层次;
• （9）堂兄弟节点:父节点在同一层的节点互为堂兄弟;
• （10）节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;
• （11）子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
• （12）森林:由m (m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林;

树的种类

• 无序数：树中任意节点的子节点之间没有顺序关系，这种树称为无序树，也称为自由树。
• 有序树：树中任意节点的子节点之间有顺序关系，这种树称为有序树;
  • 二叉树:每个节点最多含含有两个子树的树称为二叉树;
    • 完全二叉树:对于一颗二叉树，假设其深度为d(d>1)。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树，其中满二叉树的定义是所有叶节点都在最底层的完全二叉树;
    • 平衡二叉树(AVL树) :当且仅当任何节点的两棵子树的高度差不大于1的二叉树;
    • 排序二叉树(二叉查找树(英语: Binary Search Tree)，也称二叉搜索树、有序二叉树) ;
  • 霍夫曼树：带权路径最短的二叉树称为哈夫曼树或最优二叉树;
  • B树:一种对读写操作进行优化的自平衡的二叉查找树，能够保持数据有序，拥有多余两个子树;

树的应用场景

• 1.xml，html 等，那么编写这些东西的解析器的时候，不可避免用到树
• 2.路由协议就是使用了树的算法
• 3.mysql数据库索引
• 4.文件系统的目录结构
• 5.所以很多经典的AI算法其实都是树搜索，此外机器学习中的decision tree也是树结构

二叉树的基本概念

二叉树是每个节点最多有两个子树的树结构。通常子树被称作“左子树”(left subtree )和“右子树”(right subtree )

二叉树的性质

性质1:在二叉树的第i层上至多有2^(i-1)个节点(i>0)

性质2:深度为k的二叉树至多有2^k-1个节点(k>0)

性质3:对于任意一棵二叉树，如果其叶节点数为N0，而度数为2的结点总数为N2, 则N0=N2+1;

性质4:具有n个节点的完全二叉树的深度必为log2(n+1)

性质5:对完全二叉树，若从上至下、从左至右编号，则编号为i的结点，其左孩子编号必为2i,其右孩子编号必为2i+1;其双亲的编号必为i/2 (i=1时为根,除外)

二叉树的实现

节点的定义

# defined 二叉树的节点
class Node:
    def __init__(self, elem):
        self.elem = elem
        self.lchild = None
        self.rchild = None

增加节点

#Add element item
def add(self,elem):
    #create node
    node = self.Node(elem)

    if self.root == None:
        self.root=node
    else:
        queue = []
        queue.append(self.root)
        while queue:
            curNode = queue.pop(0)
            if curNode.lchild == None:
                curNode.lchild = node
                return
            else:
                queue.append(curNode.lchild)

            if curNode.rchild == None:
                curNode.rchild = node
                return
            else:
                queue.append(curNode.rchild)

广度优先遍历

#广度优先遍历
def travel(self):
    print("广度优先遍历")
    queue = []
    if self.root is None:
        return
    else:
        queue.append(self.root)
    while queue:
        curNode = queue.pop(0)

        print(curNode.elem,end="\\t")
        if curNode.lchild is not None:
            queue.append(curNode.lchild)
        if curNode.rchild is not None:
            queue.append(curNode.rchild)

前序遍历

#先序遍历 根左右//0137849256
    def preOrder(self,root):
        if root == None:
            return
        print(root.elem,end="\\t")
        self.preOrder(root.lchild)
        self.preOrder(root.rchild)

中序遍历

#中序遍历 左根右//7    3  8  1  9  4  0  5  2  6
def inOrder(self,root):
    if root == None:
        return
    self.inOrder(root.lchild)
    print(root.elem, end="\\t")
    self.inOrder(root.rchild)

后序遍历

#后序遍历 左右根//7	8	3	9	4	1	5	6	2	0
    def postOrder(self,root):
        if root == None:
            return
        self.postOrder(root.lchild)
        self.postOrder(root.rchild)
        print(root.elem, end="\\t")

#二叉树的实现
class Tree:
    # defined 二叉树的节点
    class Node:
        def __init__(self, elem):
            self.elem = elem
            self.lchild = None
            self.rchild = None
    def __init__(self):
        self.root = None

    #Add element item
    def add(self,elem):
        #create node
        node = self.Node(elem)

        if self.root == None:
            self.root=node
        else:
            queue = []
            queue.append(self.root)
            while queue:
                curNode = queue.pop(0)
                if curNode.lchild == None:
                    curNode.lchild = node
                    return
                else:
                    queue.append(curNode.lchild)

                if curNode.rchild == None:
                    curNode.rchild = node
                    return
                else:
                    queue.append(curNode.rchild)
    #广度优先遍历
    def travel(self):
        print("广度优先遍历")
        queue = []
        if self.root is None:
            return
        else:
            queue.append(self.root)
        while queue:
            curNode = queue.pop(0)

            print(curNode.elem,end="\\t")
            if curNode.lchild is not None:
                queue.append(curNode.lchild)
            if curNode.rchild is not None:
                queue.append(curNode.rchild)
    #先序遍历 根左右//0137849256
    def preOrder(self,root):
        if root == None:
            return
        print(root.elem,end="\\t")
        self.preOrder(root.lchild)
        self.preOrder(root.rchild)

    #中序遍历 左根右//7	3	8	1	9	4	0	5	2	6
    def inOrder(self,root):
        if root == None:
            return
        self.inOrder(root.lchild)
        print(root.elem, end="\\t")
        self.inOrder(root.rchild)

    #后序遍历 左右根//7	8	3	9	4	1	5	6	2	0
    def postOrder(self,root):
        if root == None:
            return
        self.postOrder(root.lchild)
        self.postOrder(root.rchild)
        print(root.elem, end="\\t")
if __name__ == '__main__':
    tree = Tree()
    tree.add(0)
    tree.add(1)
    tree.add(2)
    tree.add(3)
    tree.add(4)
    tree.add(5)
    tree.add(6)
    tree.add(7)
    tree.add(8)
    tree.add(9)
    tree.travel()
    print("\\n"+"前序遍历")
    tree.preOrder(tree.root)
    print("\\n"+"中序遍历")
    tree.inOrder(tree.root)
    print("\\n"+"后序遍历")
    tree.postOrder(tree.root)