斐波那契递归的延伸--青蛙跳台阶问题

Posted 2021-05-16 水澹澹兮生烟.

之前在学习复杂度的时候，学习了斐波那契数列的递归及其算法的优化，这里就不多数他了，嘿嘿。这里直接附上链接：傻作者自己总结的复杂度与斐波那契递归的优化
问题1：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以调两级台阶。求改青蛙跳上一个n级台阶总共有几种跳法。
首先拿到题我们进行分析：
n=1,ways=1;
n=2,ways=2;
n=3,ways=3;
n=4,ways=5;
n=5,ways=8…
我们发现这和斐波那契数列十分相似，相当于 F(n)=F(n-1)+F(n-2)。下面我们附上代码：
法一：迭代法

int freq(int n){
	//如果数字太大，我们可以将int 类型换成 long long 类型
	//在这里，我们应该先给出n=1,n=2情况下的ways的值
	int ways0 = 1;
	int ways1 = 1;
	int waysn = 0;
	if (n == 1) return ways0;
	else if (n == 2) return ways1;
	else{
		for (int i = 2; i <= n; i++){
			waysn = ways0 + ways1;
			ways0 = ways1;
			ways1 = waysn;
		}
		return waysn;
	}
}

法二：尾递归

int freq(int n,int waysn,int waysnn){//在这里我们可以利用递归的方法来做,这里的参数 waysn-->是上一次
	//尾递归
	if (n == 0) return waysnn;
	else if (n == 1) return waysn;
	else return freq(n-1, waysn + waysnn, waysn);
}
int main(){
	int n;
	cout << "输出要跳的阶数：";
	cin >> n;
	int x=freq(n,1,1);
	cout << "n=" << n << "时" << "ways=" << x;
}

变形1：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
看到这个变形题时，我们不难想到它的第n项满足F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-3)+…+F(2)+F(1)。
1.迭代法

int freq(int n){//在这里进行分析，n=0,ways=1;  n=1,ways=1;  n=2,ways=2;  n=3,ways=4;  n=4,ways=8; ...这里的每一项都是前面的所有和
	int ways = 0;
	int ways_0 = 1;
	if (0 == n) return ways_0;
	else
	{
		for (int i = 0 ; i < n; i++){
			ways = ways + ways_0;
			ways_0 = ways;
		}
	}return ways;	
}

从迭代法中，我们不难推出:
F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-3)+…+F(2)+F(1)+F(0);
F(n-1)=F(n-2)+F(n-3)+…+F(2)+F(1)+F(0);
F(n)=F(n-1)+F(n-1)=2*F(n-1)。
2.递归法：

int freq(int n){
	if (0 == n || 1 == n) return 1;
	else
		return 2 * freq(n - 1);
}

变形2：一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上m级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。
我们现在从m上一级级分析：
当m=1,F(n)=1;
当m=2,F(n)=F(n-1)+F(n-2);
当m=3,F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-3);…
当m=m,F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-3)…+F(n-m);
从m=m时的推导式出发，可知：
F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F(n-3)…+F(n-m)；
F(n-1)=F(n-2)+F(n-3)…+F(n-m)+F(n-m-1);
=>F(n)=2*F(n-1)-F(n-m-1)。
递归法：

int freq(int m,int n){
	if (0 == n || 1 == n) return 1;
	else{
		if (m >= n){
			return 2 * freq(m, n - 1);
		}
		else{
			return 2 * freq(m, n - 1) - freq(m, n - m - 1);
		}
	}
}
int main(){
	int m, n;
	cout << "输出总共的的阶数n:";
	cin >> n;
	cout << "跳的最大阶数m:";
	cin >> m;
	int x = freq(m,n);
	cout << "总跳台阶=" << n <<"最大阶数="<<m<< "时" << "ways=" << x;
}

运行结果截图：
1.m>n

2.m<n