回溯算法之幸运的袋子

Posted 2021-05-16 快乐江湖

解法框架

【README】回溯算法基本框架

幸运的袋子(点击跳转)

这道题基本也是回溯，题解中有一部分提到了dfs，其实dfs本质也是回溯算法。这道题有点特别，除了考察算法外，还轻微涉及一点数学知识，其实也可以说是规律吧。此题本质就是在集合中找到符合条件的子集，这条件就是子集中所有数字的和大于所有数字的积

规律如下

1. 数论中：对于两个任意的正整数a和b，如果要满足a+b<ab，则必须要有一个数为1
2. 我们将所有的球排好序后，假设a1，a2，a3不满足条件，那么也就是sum<=multi，如果要选择一个数b使得sum+b>multi*b，那么b一定为1。但是如果选择的b>1，那么一定不满足条件，同时排在b后面的数组更不可能满足条件
3. 如果有连续的1存在，且当前位置不满足条件，但是该位置的数字为1，那么应该继续向后找寻，因为只要是1就能增大sum，而不会使multi变大
4. 对于重复的数字只算一次，也就是咋们在回溯算法中说到过的在选择列表中选择正确的选项

首先，这道题要完全自己输入和输出，先打起框架。咋们的选择列表，也就是所有球的编号，依次存放在一个vector中，接着将球按照编号从小到大的排序

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main()
{
    int n;//接受几个球
    cin>>n;
    vector<int> ball;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int temp;
        cin>>temp;
        ball.push_back((temp));
    }
    sort(ball.begin(),ball.end());//排序

}

选择列表有了，下一个就是路径，这个路径非常简单，只需要一个整型ret即可，因为当sum>multi的时候，这表明现在就已经可以作为一个幸运的袋子了，所以ret增加。 所以将ret设置为全局变量。

对于递归函数，第一个参数一定是选择列表，第二个参数是球的个数，第三个参数要设置为一个pos，因为递归函数进行for循环时一定要一个正确的起始位置，for循环每次就从i=pos的位置，递归时这个球加入了，我们就pos=i+1，表明选择下一个球。剩下两个参数分别为sum和multi用于计算判断

int ret=0;//幸运的袋子个数
void back(vector<int>& ball,int n,int pos,int sum,int multi)
{
    for(int i=pos;i<n;i++)
    {
        sum+=ball[i];//和
        multi*=ball[i];//乘积
        if(sum>multi)//ball[i]这个球加入后符合幸运袋子
        {
            ret+=1;
            back(ball,n,i+1,sum,multi);//继续回溯，下一个位置
        }
        else if(ball[i]==1)//如果不满足条件，但是这一位是1，是还有机会的，所以递归就可以了
        {
            back(ball,n,i+1,sum,multi);
        }
        else
        {
            break;//不满足直接退出
        }
        sum-=ball[i];//撤销选择
        multi/=ball[i];//撤销选择
        while(i<n-1 && ball[i]==ball[i+1])//连续的只选择1次
        {
            ++i;
        }
        
        
    }

}

需要注意的是去重要写在后面，不要一上来就去重

最后完善即可，注意multi在传入时要传入1，不要传入0

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int ret=0;//幸运的袋子个数
void back(vector<int>& ball,int n,int pos,int sum,int multi)
{
    for(int i=pos;i<n;i++)
    {
        sum+=ball[i];//和
        multi*=ball[i];//乘积
        if(sum>multi)//ball[i]这个球加入后符合幸运袋子
        {
            ret+=1;
            back(ball,n,i+1,sum,multi);//继续回溯，下一个位置
        }
        else if(ball[i]==1)//如果不满足条件，但是这一位是1，是还有机会的，所以递归就可以了
        {
            back(ball,n,i+1,sum,multi);
        }
        else
        {
            break;//不满足直接退出
        }
        sum-=ball[i];//撤销选择
        multi/=ball[i];//撤销选择
        while(i<n-1 && ball[i]==ball[i+1])//连续的只选择1次
        {
            ++i;
        }
    }
}

int main()
{
    int n;//接受几个球
    cin>>n;
    vector<int> ball;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        int temp;
        cin>>temp;
        ball.push_back((temp));
    }
    sort(ball.begin(),ball.end());//排序
    back(ball,n,0,0,1);
    cout<<ret<<endl;
    return 0;

}