学习笔记---Harr小波

Posted 2021-05-16 潘李亮

        前面的话：本人是纯属菜鸟。本笔记中，肯定错误百出，被我误导的小朋友，大朋友我一概不负责。

        前段时间真的很懒，刚看了一小半的数学分析又掉下了。前天晚上睡不着拿出了床头的小波变换的书又翻了翻。

        我们知道傅立叶级数可以看成是f 在 L2 空间上对某个由三角函数构成的正交基的展开，傅立叶级数中这个正交基就是

                            exp(i * PI * n ) / sqrt(2*PI)  ---- n 为整数.

        f 在这个基的坐标系的坐标就是傅立叶系数（差一个常数）。

        同样的，如果用勒让得多项式的正交系来做展开，就是spherical harmoic.

   

        那么小波是什么？
       目前，我只看懂了最简单的Harr小波。Harr构造了这样一组函数，这种函数是分段常量函数，就是用楼梯台阶一样的函数来逼近连续的函数。 而这组“台阶”函数可以用 尺度函数（父小波）和母小波（也是由尺度函数构成）构造的一个正交基。用这个正交基对f进行分解。其思想与傅立叶变换概念（说实话，是空间的概念）是很类似的。

       试想，如果一个信号中有一个随机的噪音，我们只要让“台阶”的宽度大于噪音的信号的宽度，在重构的时候，就不会出现这个噪音了。 而这种随机的孤立噪音。用傅立叶变换是很难过滤掉的。

       Harr小波很容易说明问题。不过据说因为它不连续，实用价值不大。看来我还要继续研究哪些更”漂亮“的小波。