多种方法求解最大公约数与最小公倍数

Posted 2021-05-16 是七喜呀！

最大公约数GCD

• 穷举法
• 辗转相除法（欧几里德法）
• 更相减损法
• 函数递归求解GCD

求解最小公倍数要先求出最大公约数，完之后再求最小公倍数

以 18 12 为例
18 = 6 * a
12 = 6 * b
我们算出来最大公约数为6，我们不难发现 18 * 12 / 6即
m * n / （最大公约数） == 最小公倍数
由于a 与 b 肯定互质，再结合最小公倍数的定义
不难求出最小公倍数就是m * n / (最大公约数)

穷举法

思路：m和n的最大公约数一定介于1～m和n中的较小数之间，
从大到小找，找到则中断枚举

#include<stdio.h>

int main()
{
	int m,n,min;
	int i;
	scanf("%d %d",&m,&n);
	min = m < n ? m : n;
	for (i = min; i > 0; i--)
	{
		if (m % i == 0 && n % i == 0)
			break;
	}
	printf("最大公约数为：%d\\n",i);
	printf("最小公倍数为：%d\\n",m * n / i); 
	return 0;
}

辗转相除法（欧几里德法）

辗转相除法算法原理

思路：先 t = m % n;
在 m = n;
n = t;
循环上述操作直至t = 0；
n为所求的值

#include<stdio.h>

int main()
{
	int m,n,t,a,b;
	scanf("%d %d",&m,&n);//6 8
	a = m;
	b = n;
	while(t = a % b)//6
	{
		a = b;
		b = t;
	}
	printf("最大公约数为：%d\\n",b);
	printf("最小公倍数为：%d\\n",m * n / b); 
	return 0;
}

更相减损法

更相减损法使用步骤

思路：m > n时 m = m - n;
m < n 时 n = n - m;
循环上述操作，直至m = n;
m或者n 为所求的最大公约数

#include<stdio.h>

int main()
{
	int m,n,a,b;
	scanf("%d %d",&m,&n);
	a = m;
	b = n;
	while(a != b)
	{
		if (a > b)
			a -= b;
		else
			b -= a;
	}
	printf("最大公约数为：%d\\n",a);
	printf("最小公倍数为：%d\\n",m * n / a); 
	return 0;
}

函数递归求解GCD

思路：结合辗转相除法，与递归的思想，我们用函数来实现相应的操作

#include<stdio.h>
int GCD(int m , int n)
{
	if (n == 0)
		return m;
	else
		return GCD(n , m % n);
}
int main()
{
	int m,n,a;
	scanf("%d %d",&m,&n);
	a = GCD(m,n);
	printf("最大公约数为：%d\\n",a);
	printf("最小公倍数为：%d\\n",m * n / a); 
	return 0;
}