图的最小生成树和最短路径算法思路总结(Prim，Kruskal，Dijkstra，Floyd)

Posted 2021-05-16 Wecccccccc

带权无向图—>最小生成树算法—>Prim算法:

思路:
首先，我们先设置两个集合，U_{}：一个用来放最小生成树的顶点，T_{}：一个用来放最小生成树的边。选取最开始的点V_0，将V_0放入U_{}中，得到U_{V_0}，然后从V_0出发的边中选权值最小的，把该边的另外一个点加入集合U中，把边加入集合T中，重复该操作，直到集合U中含图的全部点，最小生成树构造完毕。

代码如下:
Prim

带权无向图—>最小生成树算法—>Kruskal算法：

思路:
首先，我们先得到该图的最小生成树，只不过没有边，全部是点，然后按照边的权值从小到大排序，然后开始从小到大选边，只要不会让目前的最小生成树生成回路的边就可以选，最后形成完整的最小生成树。

代码如下:
Kruskal

带权有向图—>最短路径算法—>单源最短路径算法—>Dijkstra算法:

思路:
首先，我们先设置两个集合，U1_{}：一个用来放已找到最短路径的顶点，U2_{}：一个用来放当前还未找到最短路径的顶点。选取最开始的点V_0，将V_0放入U1_{}中，得到U1_{V_0}，初始状态，集合U1中只有V_0,然后从U2_{}不断选取到V_0路径长度最短的点，将该点放入集合U1_{}，U1_{}每次放入新点，都要修改顶点V_0到集合U2_{}剩余顶点的最短路径长度值，不断重复该过程，直到集合U2_{}中的点全部放入集合U1_{}中。

代码如下:
Dijkstra

带权有向图—>最短路径算法—>每对顶点之间的最短路径算法—>Floyd算法:

思路:
假设求从顶点vi到vj的最短路径。如果从vi到vj有弧，则从vi到vj存在一条长度为arcs[i][j]的路径，该路径不一定是最短路径，尚需进行n次试探。首先考虑路径（vi, v0, vj）是否存在（判别弧（vi, v0）和（v0, vj）是否存在）。如果存在，则比较（vi, vj）和（vi, v0, vj）的路径长度，取长度较短者为从vi到vj的中间顶点的序号不大于0的最短路径。假如在路径上再增加一个顶点v1，也就是说，如果（vi, …, v1）和（v1, …, vj）分别是当前找到的中间顶点的序号不大于0的最短路径，那么（vi, …, v1, … , vj）就有可能是从vi到vj的中间顶点的序号不大于1的最短路径。将它和已经得到的从vi到vj中间顶点序号不大于0的最短路径相比较，从中选出中间顶点的序号不大于1的最短路径之后，再增加一个顶点v2，继续进行试探，依此类推。在一般情况下，若（vi, …, vk）和（vk, …, vj）分别是从vi到vk和从vk到vj的中间顶点的序号不大于k-1的最短路径，则将（vi, …, vk, …, vj）和已经得到的从vi到vj且中间顶点序号不大于k-1的最短路径相比较，其长度较短者便是从vi到vj的中间顶点的序号不大于k的最短路径。这样，在经过n次比较后，最后求得的必是从vi到vj的最短路径。
按此方法，可以同时求得各对顶点间的最短路径。

代码如下:
Floyd